کیلے ہمیلٹن مسلئہ اثباتی

• Cayley-Hamilton theorem

اگر $\ p(\lambda)$ مربع میٹرکس $\ A$ کا "ویژہ کثیر رقمی" ہے، تو $\ n \times n$ میٹرکس $\ A$ کی ویژہ قیمت $\ \lambda$ کے لیے، "ویژہ کثیر رقمی" کی تعریف کی رُو سے

$\ p(\lambda) = \det(A-\lambda I)= a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_{1} \lambda + a_0= 0$

اس مسلئہ اثباتی کے مطابق مربع میٹرکس خود اپنے کثیر رقمی کی تسکین کرتی ہے:

$\ p(A) = 0$

$a_n A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_{1} A + a_0 I_n = 0$

مثال

$A = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right]$

$p(\lambda) = \det(A-\lambda I) = \left|\begin{matrix} 1-\lambda & 3 \\ 2 & 4-\lambda \end{matrix}\right| = \lambda^2 - 5 \lambda - 2$

$A^2 = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 7 & 15 \\ 10 & 22 \end{matrix}\right]$

$5 A = \left[\begin{matrix} 5 & 15 \\ 10 & 20 \end{matrix}\right]$

$2 I_2 = \left[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right]$

$\ A^2 - 5 A -2 I_2 = 0$

اس مسلئہ اثباتی کی مدد سے میٹرکس شمارنگی میں آسانی پیدا کی جا سکتی ہے، مثلاً چونکہ $\ A^2 = 5 A + 2 I_2$ اس لیے $\ A^4 = A^2 A^2 = (5 A + 2 I_2)^2 = 25A^2 + 4 I_2 + 10 A = 25 (5A + 2I_2) + 10 A + 4 I_2 = 135 A + 54 I_2$

اور دیکھو

• میٹرکس فنکشن

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات