تبدل کامل گروہ

ریاضی میں، تبدلکامل گروہ ایسا گروہ ہوتا ہے جس کے عناصر کسی مجموعہ پر تبدلکامل ہوتے ہیں، اور گروہ عالجہ ان تبدلکامل کی ترکیب ہوتا ہے۔ کسی مجموعہ پر تمام تبدلکامل کے گروہ کو "متناظر گروہ" $S_n$ کہا جاتا ہے۔ عموماً تبدلکامل گروہ اس "متناظر گروہ $S_n$" کے کسی ذیلی گروہ کو کہا جاتا ہے۔

متناظر گروہ (تبدل کامل)

اعداد کے مجموعہ $\{1,2,\cdots,n\}$ کے کسی خاص تبدل کامل کو ایک دالہ کے زریعہ لکھا جا سکتا ہے، یعنی

1	2	3	....	n
f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)

مثلاً n=4 کے لیے یہ ہو سکتی ہے

1	2	3	4
4	2	1	3

اگر f(.) اور g(.) کوئ دو دالہ تبدل کامل ہوں اعداد $\{1,2,\cdots,n\}$ پر، تو ان دالہ کی ترکیب $f \circ g(k) = f(g(k))$ بھی ان اعداد کی تبدل کامل ہو گی۔ اسطرح گروہ کا پہلا مسلمہ پورا ہوتا ہے، عناصر f اور g کے لیے۔

شناخت عنصر کے لیے ہم دالہ تعریف کرتے ہیں $I(k)=k \,,\,\, k=1,2,\cdots,n$ ، یعنی:

1	2	3	....	n
1	2	3	....	n

اور یہ دوسرے مسلمہ پر پوری اترتی ہے۔

اگر دالہ f(.) کوئ خاص تبدل کامل تعریف کرتی ہے

1	2	3	....	n
f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)

تو یہ تبدل کامل

f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)
1	2	3	....	n

اس کا اُلٹ ہے، اور اسے $f^{-1}(.)$ کہہ سکتے ہیں،

$f(f^{-1}(k)) = f^{-1}(f(k)) = k$

یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہوتا ہے۔

اگر g، f، اور h ، کوئ تبدل کامل دالہ ہوں، تو چوتھا مسلمہ بھی پورا ہونے کی تصدیق کی جا سکتی ہے

$(f \circ g) \circ h(k) =(f \circ g) ( h(k) ) = f(g(h(k))) = f \circ (g \circ h) (k)$

پس ثابت ہوا کہ مجموعہ $\{1,2,\cdots,n\}$ کے تمام تبدل‌کامل ایک گروہ بناتے ہیں۔ خیال رہے کہ ان تبادل‌کامل کی تعداد $n!$ ہے، یعنی اس گروہ کے عناصر کی تعداد $n!$ ہے۔ اس گروہ کی اہمیت "متشاکل کیلے مسلئہ اثباتی" کی بدولت ہے۔ اس گروہ کو متناظر گروہ کہا جاتا ہے، اور $S_n$ کی علامت سے لکھا جاتا ہے۔

طاق اور جفت تبدلکامل

کثیر رقمی تعریف کرو

$P(x_1,\cdots,x_n) = \prod_{i<j} (x_i - x_j)$

جہاں ضرب حاصل تمام $n \choose 2$ جوڑوں پر کیا گیا ہے جن کے لیے $i<j$

کسی تبدلکامل $f \in S_n$ کے لیے تعریف کرو

$P_f(x_1,\cdots,x_n) = P(x_{f(1)},\cdots,x_{f(n)})$

اس تبدلکامل f کو جفت کہو، اگر

$P_f(x_1,\cdots,x_n) = P(x_1,\cdots,x_n)$

اور طاق کہو، اگر

$P_f(x_1,\cdots,x_n) = -P(x_1,\cdots,x_n)$

عام طور پر ہم لکھ سکتے ہیں

$P_f(x_1,\cdots,x_n) = s(f) P(x_1,\cdots,x_n)$

جہاں $\ s(f)=+1$ ہو گا اگر تبدلکامل جفت ہو، اور $\ s(f)=-1$ اگر تبدلکامل طاق ہو۔ اب یہ دیکھایا جا سکتا ہے کہ دو تبدلکامل f اور g کی ترکیب $f \circ g$ کے لیے

$s(f \circ g)=s(f) s(g)$

کسی تبدلکامل f اور اس کے اُلٹ $f^{-1}$ کا اشارہ برابر ہوتا ہے، یعنی

$\ s(f)=s(f^{-1})$

قضیہ

گروہ $S_n$ کی n! تبدلکامل میں سے آدھی (یعنی $\ n!/2$) جفت ہوتی ہیں، اور آدھی طاق ہوتی ہیں۔

اصطلاح	term
تقلیب	inversion

تقلیب

1,

2,

3,

....

n

کی تبدلکامل

f(1),

f(2),

f(3),

....

f(n)

میں ہم کہتے ہیں کہ r تقلیبات برپا ہوتی ہیں عنصر k سے، اگر تبدلکامل میں k سے پہلے ٹھیک r اعداد k سے بڑے ہوں۔ مثلاً تبدلکامل

1	2	3	4	5
4	2	1	5	3

میں:

• 2 تقلیبات برپا کرتا ہے عنصر 1
• 1 تقلیب برپا کرتا ہے عنصر 2
• 4 تقلیبات برپا کرتا ہے عنصر 3
• 0 تقلیب برپا کرتا ہے عنصر 4
• 3 تقلیبات برپا کرتا ہے عنصر 5

اور یہ تبدلکامل کُل (2+1+4+0+3=) 10 تقلیبات برپا کرتا ہے۔

تقلیبات کی مدد سے ہم جفت اور طاق تبدلکامل کی متبادل تعریف یوں کر سکتے ہیں:

قضیہ: تبدلکامل جفت کہلائے گا اگر تقلیبات کی کُل تعداد جفت ہو، اور طاق کہلائے گی اگر تقلیبات کی کُل تعداد طاق ہو۔

اصطلاح	term
متبادلی معمول	alternating normal

متبادلی ذیلی گروہ

جفت تبدلکامل کے گروہ کو "متبادلی ذیلی گروہ" $A_n$ کہتے ہیں، جو کہ $S_n$ کا معمول ذیلی گروہ ہے۔

گیلوا مسلئہ اثباتی

اگر $n>4$ ہو، تو $A_n$ کے معمول ذیلی گروہ صرف $A_n$ اور $\{I\}$ ہیں۔

گیلوا نے اپنے اس نتیجے سے ثابت کیا کہ درجہ پنجم اور زیادہ کی مساوات کو ناطق عالجوں (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) اور معلوم قدروں کی n۔ویں جذر لینے سے حل نہیں کیا جا سکتا۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات