تبدیلی از بنیاد سمتیہ

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش

اگر ایک سمتیہ فضا کا ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ\ \{ v_0, v_1, ..., v_{n-1} \} ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ b کی بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{ v_0, v_1, ..., v_{n-1} \} کے حوالے سے صورت c ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{ u_0, u_1, ..., u_{n-1} \} ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{ u_0, u_1, ..., u_{n-1} \} کے حوالے سے اسی سمتیہ b کی صورت d ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک میٹرکس کے زریعہ ہو گی:
\ c = P d
میٹرکس P کو نکالنے کا طریقہ یہ ہے کہ نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{ u_0, u_1, ..., u_{n-1} \} کے ہر سمتیہ کی صورت پرانے بنیاد سمتیہ \ \{ v_0, v_1, ..., v_{n-1} \} کے حوالے سے نکالو۔ ان صورتوں کے عددی سر اس میٹرکس P کے ستون ہونگے۔

میڑکس P کو u سے v جانے والی منتقلہ میٹرکس (transition) کہتے ہیں۔

مثال[ترمیم]

\mathbb{R}^2 میں نکتہ (4,2) قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ e_0=\left[\begin{matrix}
1 \\ 0
\end{matrix}\right], \,
e_1=\left[\begin{matrix}
0 \\ 1
\end{matrix}\right]
کے حوالے سے صورت بھی یہی ہے، یعنی: 
4 e_0 + 2 e_1

اب فرض کرو کہ نیا بنیاد سمتیہ مجموعہ یہ ہے: u_0=\left[\begin{matrix}
1 \\ 1
\end{matrix}\right], \,
u_1=\left[\begin{matrix}
-4 \\ 4
\end{matrix}\right]
ان نئے سمتیوں کو پرانے کے حوالے سے لکھنے سے ان کی پرانوں کے حوالے صورت نکل آئے گی  u_0= 1 e_0 + 1 e_1, \,\, u_0= -4 e_0 + 4 e_1
جس کے عددی سر پڑھ کر ہم میٹرکس P کے ستون لکھ لیتے ہیں: P=\left[\begin{matrix}
1    & -4 \\
1    & 4
\end{matrix}\right]
اب نکتہ (4,2) کی نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت یوں نکالتے ہیں (دیکھو میٹرکس کا الٹ استعمال ہؤا ہے) d = P^{-1} c  = \left[\begin{matrix}
1    & -4 \\
1    &  4
\end{matrix}\right]^{-1} 
\left[\begin{matrix}
4 \\ 2
\end{matrix}\right]
= \left[\begin{matrix}
1/2    & 1/2 \\
-1/8  & 1/8
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
4 \\ 2
\end{matrix}\right] 
= \left[\begin{matrix}
3 \\ -1/4
\end{matrix}\right]
یعنی 
3 u_0 - (1/4) u_1

مسلئہ اثباتی[ترمیم]

اگر کسی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ u سے بنیاد سمتیہ مجموعہ v جانے والی منتقلہ میٹرکس P ہو، تو

  • میٹرکس کا اُلٹ، یعنی P^{-1} ممکن ہے
  • v سے u جانے والی منتقلہ میٹرکس P^{-1} ہے۔


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات