تبدیلی از بنیاد سمتیہ

اگر ایک سمتیہ فضا کا ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{ v_0, v_1, ..., v_{n-1} \}$ ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ b کی بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{ v_0, v_1, ..., v_{n-1} \}$ کے حوالے سے صورت c ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{ u_0, u_1, ..., u_{n-1} \}$ ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{ u_0, u_1, ..., u_{n-1} \}$ کے حوالے سے اسی سمتیہ b کی صورت d ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک میٹرکس کے زریعہ ہو گی:
$\ c = P d$
میٹرکس P کو نکالنے کا طریقہ یہ ہے کہ نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{ u_0, u_1, ..., u_{n-1} \}$ کے ہر سمتیہ کی صورت پرانے بنیاد سمتیہ $\ \{ v_0, v_1, ..., v_{n-1} \}$ کے حوالے سے نکالو۔ ان صورتوں کے عددی سر اس میٹرکس P کے ستون ہونگے۔

میڑکس P کو u سے v جانے والی منتقلہ میٹرکس (transition) کہتے ہیں۔

مثال [ترمیم]

$\mathbb{R}^2$ میں نکتہ (4,2) قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ $e_0=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right], \, e_1=\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]$ کے حوالے سے صورت بھی یہی ہے، یعنی: $4 e_0 + 2 e_1$

اب فرض کرو کہ نیا بنیاد سمتیہ مجموعہ یہ ہے: $u_0=\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\right], \, u_1=\left[\begin{matrix} -4 \\ 4 \end{matrix}\right]$
ان نئے سمتیوں کو پرانے کے حوالے سے لکھنے سے ان کی پرانوں کے حوالے صورت نکل آئے گی $u_0= 1 e_0 + 1 e_1, \,\, u_0= -4 e_0 + 4 e_1$
جس کے عددی سر پڑھ کر ہم میٹرکس P کے ستون لکھ لیتے ہیں: $P=\left[\begin{matrix} 1 & -4 \\ 1 & 4 \end{matrix}\right]$
اب نکتہ (4,2) کی نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت یوں نکالتے ہیں (دیکھو میٹرکس کا الٹ استعمال ہؤا ہے) $d = P^{-1} c = \left[\begin{matrix} 1 & -4 \\ 1 & 4 \end{matrix}\right]^{-1} \left[\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1/2 & 1/2 \\ -1/8 & 1/8 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 \\ -1/4 \end{matrix}\right]$
یعنی $3 u_0 - (1/4) u_1$