تفاوت

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

اقدار
توزیع
دالہ
کمیت
دو رقمی
متوقع قدر
تَفاوُت

values
distribution
function
mass
binomial
expected value
variance

تصادفی متغیر کا "معیاری انحراف" \sigma ناپ ہے تصادفی متغیر کی اقدار (نیلا رنگ میں) کا اپنے اوسط \mu کے گرد پھیلاؤ کا۔

تصادفی متغیر کا اپنی متوقع قدر سے ممکنہ انحراف کی مقدار کو جانچنے کے لیے، تصادفی متغیر کا تَفاوُت استعمال ہوتا ہے۔ اگر تصادفی متغیر X کی متوقع قدر کو

\  \mu = E(X)

لکھا جائے، تو X کا تَفاوُت \sigma^2 یوں تعریف کیا جاتا ہے

\ \sigma^2 = E\left((X-\mu)^2\right)

یعنی \sigma^2 ہے تصادفی متغیر X کی اوسط \mu سے دوری x-\mu کے مربع \ (x-\mu)^2 کی اوسط ۔ واپس X کی اکائی میں آنے کے لیے ہم \sigma^2 کا مربع جزر لے کر معیاری انحراف \sigma حاصل کرتے ہیں۔

غور کرو کہ تفاوت \sigma^2 کو یوں لکھ سکتے ہیں

\ \sigma^2 = E\left((X-\mu)^2\right)
= E(X^2) - \mu^2

جہاں متفرد تصادفی متغیر کے لیے \ E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 p_X(x_i) غور کرو کہ \ E(X^2) متغیر \ x^2 کی وزن شدہ اوسط ہے، جہاں وزن تصادفی متغیر X کی احتمال کمیت دالہ \ p_X(.) سے کیا گیا ہے۔ متفرد تصادفی متغیر X کی "احتمال کمیت دالہ" \ p_X(x) اس متغیر کی قدر x ہونے کے احتمال کو کہتے ہیں، اور یوں تعریف کرتے ہیں:

\ p_X(x_i)  = \Pr(X=x_i)


اس تَفاوُت (variance) کے مربع جزر کو تصادفی متغیر کا معیاری انحراف کہا جاتا ہے، جو یہ بتاتا ہے کہ تصادفی متغیر کی ممکنہ اقدار کا اپنی متوقع قدر کے گرد پھیلاؤ کتنا سمجھا جا سکتا ہے۔ معیاری انحراف (standard deviation)

\ \hbox{std. dev.}(X) = \sqrt{\hbox{var}(X)}
تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت دالہ \ p_X(.)

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کا تفاوت (variance)

\ \hbox{var}(X) = np(1-p)

تصویر 2 میں سرخ خطِ منحنی کے مطابق تَفاوُت \hbox{var}(X)=np(1-p)=40 \times 0.5 \times (1-.5) = 10 اور معیاری انحراف (standard deviation) \ \hbox{std. dev. (X)} = 10^{\frac{1}{2}} \approx 3.16

اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات