تفرقی مساوات

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

تفرقی مساوات
دالہ
متغیر
مشتق
ہندسیات
طبیعیات
معاشیات
کشش ثقل
اسراع
دائم
سمتار
متناسب
واضح قاعدہ
عددی تقرب
شمارندہ
تسمیہ
نظریہ
آزاد متغیر
مثیل
عشوائی
اسی دالہ
تلمبہ
ابتدائی قدر
منحنی
مماسی خط
ڈھلوان

Differential equation
Function
Variable
Derivative
Engineering
Physics
Economics
Gravity
Acceleration
Constant
Velocity
Proportional
Explicit Formula
Numerical Approximation
Computer
Nomenclature
Theory
Independent Variable
Model
Stochastic
Exponential Function
Pump
Initial Value
Curve
Tangent Line
Slope


تلمبہ (pump) میں حرارت کی منتقلی کا تصور

تفرقی مساوات (انگریزی: Differential equation) ایک ریاضیاتی نامعلوم دالہ (function) کی مساوات جو ایک یاں ایک سے زیادہ متغیر (Variable) اور دالہ کے مشتق (derivative) کے درمیان تعلق دکھاتی ہے۔ تفرقی مساوات ہندسیات (engineering) طبیعیات (physics) معاشیات (economics) اور بہت ساری جگہوں پر استعمال ہوتی ہے۔

مثال کے طور پر ایک ہوا میں گرتی ہوئی گیند جس پر صرف کشش ثقل (gravity) اور ہوا کی مزاحمت ہو اس کی حقیقی زندگی کی ایک مثال ہے۔ گیند کا اسراع (acceleration) دراصل کشش ثقل کی وجہ سے اسراع اور ہوا کی مزاحمت کی وجہ سے سستی کا حاصل جمع ہے۔ کشش ثقل ایک دائم (constant) ہے مگر ہوا کی مزاحمت گیند کی سمتار (velocity) کے متناسب (proportional) ہے۔ گیند کی سمتار (velocity) کا دالہ (function) جو کہ وقت انحصار کرتا ہو حاصل کرنے کے لیے ہمیں تفرقی مساوات حل کرنا ہو گی۔

ریاضی میں تفرقی مساوات مختلف نقطہ نظر سے پڑھی جاتی ہیں، زیادہ تر ہم ایک یاں ایک سے زیادہ دالہ (function) تلاش کرتے ہیں کہ جن کا مشتق (derivative) تفرقی مساوات ہو۔ صرف سادہ تفرقی مساوات کا ہی واضح قاعدہ (explicit formula) ہوتا ہے۔ تاہم تفرقی مساوات کی بہت ساری خصوصیات ان کا واضح قاعدہ حاصل کیے بغیر بھی معلوم کی جاسکتی ہیں۔ اگر کسی تفرقی مساوات کا واضح قاعدہ معلوم نہ ہوسکتا ہو تو شمارندہ (computer) کی مدد سے اس کا عددی تقرب (numerical approximation) معلوم کیا جاسکتا ہے۔

تسمیہ[ترمیم]

تفرقی مساوات کا نظریہ (theory) کافی ترقی کر چکا ہے اور اب کو اس کی قسم کے لحاظ سے پڑھا جاتا ہے۔

عام اور جزوی تفرقی مساوات[ترمیم]

  • عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)
یہ وہ تفرقی مساوات ہوتی ہے جس میں دالہ (function) میں صرف ایک آزاد متغیر (independent variable) ہوتا ہے۔ اس لیے اس میں عام مشتق (derivative) لیا جاتا ہے۔


\frac{du}{dx} = cu+x^2.


عمومی طور پر ہم اس کو اس طرح لکھ سکتے ہیں۔


F\left(x, y, y', y'',\ \cdots,\ y^{(n)}\right) = 0


  • جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)
اس تفرقی مساوات میں دالہ (function) میں ایک سے زیادہ آزاد متغیر (independent variable) ہوتا ہے اس لیے اس میں جزوی مشتق (partial derivative) لیا جاتا ہے۔


\frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.


عمومی طور پر ہم اس کو اس طرح لکھ سکتے ہیں۔


F(x_1, \, \ldots, \, x_n, \, u, \, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \, \ldots, \, \frac{\partial u}{\partial x_n}, \, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_1}, \, \ldots, \, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_n}, \ldots) = 0


لکیری اور غیر لکیری تفرقی مساوات[ترمیم]

  • لکیری تفرقی مساوات (linear differential equation)
اس تفرقی مساوات میں نامعلوم دالہ (function) اور اس کے مشتق (derivative) کی وقت ایک ہوتی ہے۔


\frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0.


  • غیر لکیری تفرقی مساوات (nonlinear differential equation)
اس تفرقی مساوات میں نامعلوم دالہ (function) اور اس کے مشتق (derivative) کی وقت ایک سے زیادہ ہوتی ہے۔ یہ تفرقی مساوات کسی بہت ہی مشکل حقیقی زندگی کے مسئلے کی مثیل (model) ہوتی ہے اور اسے حل کرنا بہت مشکل ہوتا ہے۔


L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0.


تفرقی مساوات کا حل[ترمیم]

تفرقی مساوات کو دو مختلف طریقوں سے حل کیا جاتا ہے۔ پہلا تجزیاتی طریقہ (analytical method) ہے۔ اس میں ہم ایسا دالہ (function) معلوم کرنے کی کوشش کرتے ہیں جو کہ اس مساوات کو حل کر سکے۔ مگر اکثر تجزیاتی طریقے سے تفرقی مساوات کو حل کرنا مشکل یا ناممکن ہوتا ہے۔ ایسی صورت میں تفرقی مساوات کو عددی طریقہ (numerical method) سے حل کرتے ہیں اور مطلوبہ دالہ (function) کی خصوصیات پتہ کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔

تجزیاتی طریقہ[ترمیم]

تفرقی مساوات کو حل کرنے کا مطلب ہے کہ ایک ایسا دالہ (function) معلوم کرنا جس کا اگر مشتق (derivative) تفرقی مساوات میں دیے گئے طریقے سے کیا جائے تو وہ ایک درست مساوات ہو۔ مثال کے طور پر اگر ہم یہ کہیں کہ وہ کون سا دالہ (function) ہے جس کا مشتق (derivative) اسی کے برابر ہے۔ اسے اگر ہم تفرقی مساوات کی صورت میں لکھنا چاہیں تو اس طرح لکھیں گے۔


y=\frac{dy}{dx}


یہ شاید سب سے آسان تفرقی مساوات ہے۔ بظاہر اس کا حل بہت آسان ہے اور زبانی بھی نکالا جا سکتا ہے۔ ہم جانتے ہیں کہ ایک ایسا دالہ(function) ہے جس کا مشتق (derivative) وہ خود ہوتا ہے۔


\frac{dy}{dx} = \frac{de^x}{dx}=e^x


اس کا مطلب ہے کہ مندرجہ بالا تفرقی مساوات کا حل یہ دالہ (function) ہے۔


f(x)=e^x


یہاں یہ بات اہم ہے کہ ہم دائم (constant) کو نظر انداز کر رہے ہیں۔ اگر ہم دائم کو بھی شامل کریں تو ایک تفرقی مساوات کے لامتناہی حل ہو سکتے ہیں اور کوئی خاص حل جاننے کے لیے ہمیں مزید معلومات چاہیے ہوتی ہیں۔ یہاں یہ بات قابل ذکر ہے کہ اسی دالہ (exponential function) کی یہ زیادہ بہتر تعادیف ہے کہ یہ دالہ (function) مندرجہ ذیل تفرقی مساوات کا حل ہے


y' = y


جبکہ y(0) = 1 ہو۔

اسی طرح سے ہم یہ سوال بھی کر سکتے ہیں کہ وہ کون سا دالہ (function) ہے جس کا دوسرا مشتق (second derivative) اور دالہ کا حاصل جمع صفر کے برابر ہو۔ اسے ہم اس طرح لکھیں گے۔


y + \frac{d^2y}{dx^2} = 0


یہاں مثال کے طور پر اس دالہ کو دیکھتے ہیں۔


f(x)= sin(x)


اس کا پہلا اور دوسرا مشتق (derivative) ہے۔


\frac{dy}{dx} = \frac{dsin(x)}{dx}=cos(x)


\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2sin(x)}{dx^2}=-sin(x)

اب اگر ہم دوسرے مشتق (derivative) کو اصل دالہ (function) میں جمع کریں گے تو جواب صرف آئے گا۔


y + \frac{d^2y}{dx^2}= 0


sin(x) - sin(x) = 0


اس تفرقی مساوات (differential equaation) کا حل یہ دالہ (function) ہے۔


f(x) = sin(x)


مگر اہم بات یہ ہے کہ ایک اور دالہ (function) بھی یہی خصوصیات رکھتا ہے۔


\frac{dy}{dx} = \frac{dcos(x)}{dx}=-sin(x)


\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2cos(x)}{dx^2}=-cos(x)


y + \frac{d^2y}{dx^2}= 0


cos(x) - cos(x) = 0


اس کا مطلب ہے کہ تفرقی مساوات کے ایک سے زیادہ حل ہو سکتے ہیں۔

عددی طریقہ[ترمیم]

اویلر کے طریقے کی تمثیل

اکثر تفرقی مساوات کو تجزیاتی طریقے سے حل کرنا مشکل یا ناممکن ہوتا ہے۔ ایسی مساوات کو ہم نظریۂ عدد (numerical analysis) کی مدد سے حل کرتے ہیں۔ اس طرح سے تفرقی مساوات کو حل کرنے کے بہت سارے طریقے ہیں مگر سب سے آسان طریقہ اویلر کا طریقہ ہے۔ اس طریقے سے عام تفرقی مساوات کا قریبی حل نکالا جا سکتا ہے۔ مشہور سوئس ریاضی دان لیونہارڈ اویلر نے یہ طریقہ دریافت کیا۔ اس طریقے میں ہم تفرقی مساوات کو ابتدائی قدر (initial value) کی مدد سے حل کرتے ہیں۔

اس کا بنیادی خیال یہ ہے کہ ہم ایک نامعلوم منحنی (curve) کو ڈھونڈ رہے ہیں جس کا ہمیں صرف ابتدائی نقطہ A_0 معلوم ہے۔ وہاں سے ہم اس کے مماسی خط (tangent line) پر ایک چھوٹا سا قدم لیتے ہیں اور نئے مقام A_1 پر پہنچ جاتے ہیں۔ یہاں یہ خیال رہے کہ ہمارا قدم اتنا چھوٹا ہونا چاہیے کہ منحنی (curve) اور خط کی ڈھلوان (slope) تقریباً ایک جیسا ہو۔ ہم اس عمل کو بار بار دہراتے رہتے ہیں اور نئے نئے نقاط A_0A_1A_2A_3\dots حاصل کرتے رہتے ہیں۔ اگر ہمارا قدم بہت چھوٹا ہو تو یہ نقاط منحنی (curve) کے بہت قریت ہوں گے اور اس کے مدد سے ہم منحنی (curve) حاصل کر لیں گے۔

فرض کریں کہ ہماری تفرقی مساوات اور ابتدائی قدر مندرجہ ذیل ہے۔


y'(t) = f(t,y(t)), \qquad \qquad y(t_0)=y_0.


اگر ہمارے قدم کی قدر h ہو تو اویل کے طریقے سے ہمارا اگلا قدم t_{n+1} = t_n + h ہو گا۔ اور منحنی کا اگلا نقطہ ہم اس طریقے سے نکال سکتے ہیں۔


 y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n).  \qquad \qquad


مزید دیکھیے[ترمیم]

بیرونی روابط[ترمیم]