تولیدی دالہ

اصطلاح	term
رسمی طاقت سلسلہ عام تولیدی دالہ اَسّی اخرس	formal power series ordinary generating function exponential dummy

متوالیہ کے ارکان کو "رسمی طاقت سلسلہ" کے بطور لکھنے کے لیے تولیدی دالہ کا استعمال کیا جاتا ہے۔ رسمی طاقت سلسلہ پر ریاضی کے عمل اسی طرح کیے جاتے ہیں جس طرح کثیر رقمی پر۔

تعریف: متوالیہ $\{a_n\}=\{a_0, a_1, a_2, \cdots \}$ کا عام تولیدی دالہ یوں لکھا جاتا ہے:

$\ g(x) =a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$

جہاں x ایک اخرس متغیر ہے۔

مثال کے طور پر دو رقمی عددی سر $\{\tbinom{n}{r}\}$ متوالیہ کا تولیدی دالہ (دو رقمی مسلئہ اثباتی کی رُو سے)

$g(x)= \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r = (1+x)^n$

ہے۔

تعریف: متوالیہ $\{a_n\}$کا اَسّی تولیدی دالہ یوں لکھا جاتا ہے:

$G(x) = a_0 + a_1 \frac{x}{1!} + a_2 \frac{x^2}{2!} + \cdots$

جہاں x ایک اخرس متغیر ہے۔

مثال کے طور پر متوالیہ $\{r^n\}$ کا اَسّی تولیدی دالہ

$G(x)= \sum_{k=0}^{\infty} r^k \frac{x^k}{k!} = \exp(rx)$

ہے۔

عام اور اَسّی تولیدی دالہ کا آپس میں رشتہ یوں ہوتا ہے

$g(x) = \int_{0}^\infty e^{-v} G(xv) dv$

خوائص عام تولیدی دالہ

اگر متوالیہ $\{a_r\}$ کا عام تولیدی دالہ $\ g(x)$ ہے (اور متوالیہ $\{b_r\}$ کا عام تولیدی دالہ $\ h(x)$ ہے)،

• تو $\ (1-x)g(x)$ تولیدی دالہ ہو گا متوالیہ $\{a_r-a_{r-1}\}$ کا۔
• تو $\ (1-x)^{-1}g(x)$ تولیدی دالہ ہو گا متوالیہ $\{a_0+a_1+\cdots+a_{r}\}$ کا۔
• تو $\ xg^\prime(x)$ تولیدی دالہ ہو گا متوالیہ $\{ra_r\}$ کا۔ (یہاں $\ g^\prime()$ سے مراد $\ g()$ کا مشتق ہے۔)
• تو $\ g(x)h(x)$ تولیدی دالہ ہو گا اس متوالیہ کا، جو متوالیہ $\{a_r\}$ اور $\{b_r\}$ کا تلفیف ہو، یعنی متوالیہ

$\left\{ \sum_{k=0}^r a_k b_{r-k}\right\}$

کا۔

• تو $\ \alpha g(x) +\beta h(x)$ تولیدی دالہ ہو گا اس متوالیہ $\{\alpha a_r + \beta b_r\}$ کا ، جہاں $\alpha$ اور $\beta$ اصل اعداد ہیں۔

خوائص اَسّی تولیدی دالہ

اگر متوالیہ $\{a_r\}$ کا اَسّی تولیدی دالہ $\ G(x)$ ہے (اور متوالیہ $\{b_r\}$ کا اَسّی تولیدی دالہ $\ H(x)$ ہے)،

• تو $\ xG^\prime(x)$ تولیدی دالہ ہو گا متوالیہ $\{ra_r\}$ کا۔ (یہاں $\ G^\prime()$ سے مراد $\ G()$ کا مشتق ہے۔)
• تو $\ G(x)H(x)$ تولیدی دالہ ہو گا اس متوالیہ کا، جو متوالیہ $\{a_r\}$ اور $\{b_r\}$ کا دو رقمی تلفیف ہو، یعنی متوالیہ

$\left\{ \sum_{k=0}^r \binom{r}{k} a_k b_{r-k}\right\}$

کا۔

• تو $\ \alpha G(x) +\beta H(x)$ تولیدی دالہ ہو گا اس متوالیہ $\{\alpha a_r + \beta b_r\}$ کا ، جہاں $\alpha$ اور $\beta$ اصل اعداد ہیں۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات