خیام تکون

اصطلاح	term
خیام تکون دو رقمی عددی سر	Pascal's triangle binomial coefficient

دو رقمی عددی سر $\tbinom{n}{r}$ کو تکون کی صورت لکھا جا سکتا ہے جو ایک وضع بناتے ہیں۔ اس تکون کو خیام تکون کہا جاتا ہے۔

$\binom{n}{r}= \frac{n!}{r! \, (n-r)!} \,,\,\,\, n \in \mathbb{N},\, r\le n$

جہاں ! کی علامت عاملیہ کو ظاہر کرتی ہے۔

خیام تکون
n=0								$\tbinom{0}{0}$
n=1							$\tbinom{1}{0}$		$\tbinom{1}{1}$
n=2						$\tbinom{2}{0}$		$\tbinom{2}{1}$		$\tbinom{2}{2}$
n=3					$\tbinom{3}{0}$		$\tbinom{3}{1}$		$\tbinom{3}{2}$		$\tbinom{3}{3}$
n=4				$\tbinom{4}{0}$		$\tbinom{4}{1}$		$\tbinom{4}{2}$		$\tbinom{4}{3}$		$\tbinom{4}{4}$
n=5			$\tbinom{5}{0}$		$\tbinom{5}{1}$		$\tbinom{5}{2}$		$\tbinom{5}{3}$		$\tbinom{5}{4}$		$\tbinom{5}{5}$
n=6		$\tbinom{6}{0}$		$\tbinom{6}{1}$		$\tbinom{6}{2}$		$\tbinom{6}{3}$		$\tbinom{6}{4}$		$\tbinom{6}{5}$		$\tbinom{6}{6}$
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

خیام تکون
n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

5+10=15 غور کرو کہ
n=0							1
n=1						1		1
n=2					1		2		1
n=3				1		3		3		1
n=4			1		4		6		4		1
n=5		1		5		10		10		5		1
n=6	1		6		15		20		15		6		1

تکون میں تناظر کو دیکھتے ہوئے یہ کلیہ ملتا ہے کہ:

$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$

غور کرو کہ تکون میں کوئی عدد اس کے اوپر کی قطار میں دائیں اور بائیں اعداد کا حاصل جمع ہے (مثلاً تکون میں سرخ رنگ میں دکھایا ہے 10+5=15)، جس سے یہ کلیہ ملتا ہے:

$\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1}= \binom{n+1}{r+1}$

یہ واضح ہے کہ کسی قطار کا حاصل جمع

$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n$

اس سے پتہ چلتا ہے کہ n اشیاء کے مجموعہ کے ذیلی مجموعات کی تعداد $2^n$ ہوتی ہے (دیکھو تولیف)۔

اس کے علاوہ

$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0$

[ترمیم] دو رقمی پھیلاؤ

دو رقمی مسلئہ اثباتی کے پھیلاؤ میں رقموں کے عددی سر خیام تکون کے برابر ہوتے ہیں۔ مثلاً

n=0	$(a+b)^0 = 1$
n=1	$(a+b)^1 = a+ b$
n=2	$(a+b)^2 = a^2 + 2 ab + b^2$
n=3	$(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2b + 3ab^2 + b^3$
n=4	$(a+b)^4 = a^4 + 4 a^3b + 6a^2b^2+ 4ab^3 + b^4$
n=5	$(a+b)^5 = a^5 + 5 a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
n=6	$(a+b)^6 = a^6 + 6 a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5+ b^6$