سلسلہ (ریاضی)

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

سلسلہ
متوالیہ
مرتب
رجعت
دائم

series
sequence
ordered
recurrent
constant

کسی متوالیہ کے ارکان کی جمع کو سلسلہ کہتے ہیں۔ مثلاً متوالیہ 1, 3, 5, 7 کی جمع 1+3+ 5+ 7 اس کا بمطابق سلسہ ہے۔ متوالیہ

v_1, v_2, v_3, \cdots, v_n, \cdots

کا n واں جزوی جمع

S_n = v_1 + v_2 + \cdots + v_n

ہے، اور اس متوالیہ کا بمطابق سلسہ S_n ہے۔ اس جمع کے لیے \sum کی تدوین عموماً استعمال ہوتی ہے, S_n=\sum_{i=1}^{n} v_i جہاں i جمع کی index ہے، اور i کی نچلی حد 1 ہے، اور اس کی اوپر حد n ہے۔ \sum تدوین کے ساتھ جمع کے کچھ خواص بیان کرتے ہیں:

  • دائم عدد c ہو، اور قدرتی اعداد m, n ، جہاں m \le n ۔ متوالیہ v_1, v_2, \cdots, v_n, \cdots ہو ۔ پھر
\sum_{i=m}^{n} c v_i = c \sum_{i=m}^{n}  v_i
\sum_{i=m}^{n}  (v_i + u_i) =  \sum_{i=m}^{n}  v_i + \sum_{i=m}^{n}  u_i
\sum_{i=m}^{p}  v_i  =  \sum_{i=m}^{n}  v_i + \sum_{i=n+1}^{p}  v_i


حسابی متوالیہ[ترمیم]

متوالیہ جس کے تواتر ارکان کا فرق دائم ہو، کو حسابی متوالیہ کہا جاتا ہے۔ اس کی عام شکل یوں ہو گی

a , a+d, a+2d, a+3d, \cdots

جہاں a پہلا رکن ہے، اور d مشترکہ فرق۔ اس متوالیہ کے n ویں رکن v_n کو یوں لکھیں گے

v_n = a+(n-1)d \,,\,\, n \in \mathbb{N}

اس متوالیہ کے سلسلہ S_n=\sum_{i=1}^{n} v_i کو یوں معلوم کیا جا سکتا ہے


\begin{matrix}
S_n  &=& (a)               &+& (a+d)          &+&  \cdots &+& (a+(n-1)d) \\
S_n  &=& (a+(n-1)d)   &+& (a+(n-2)d)  &+&  \cdots &+& (a) \\
\\
2S_n &=& (2a+(n-1)d) &+& (2a+(n-1)d)&+&  \cdots &+&  (2a+(n-1)d)
\end{matrix}

پہلی دو سطروں میں سلسلہ کے ارکان کو ایک دوسرے کے مخالف ترتیب میں لکھا گیا ہے۔ تیسری سطر پہلی دو سطروں کو جمع کر کے حاصل ہوئی ہے۔ غور کرو کہ تیسری سطر میں n رقمیں ہیں، جو سب برابر ہیں۔ اس سے ہمیں یہ کلیہ ملتا ہے

S_n = \frac{n(2a+(n-1)d) } {2}


ہندساتی متوالیہ[ترمیم]

متوالیہ جس کے تواتر ارکان کا تناسب دائم ہو، کو ہندساتی متوالیہ کہتے ہیں۔ اس کی عام شکل یوں ہو گی

a , ar, ar^2, ar^3, \cdots

جہاں a پہلا رکن ہے، اور r مشترکہ تناسب۔ اس متوالیہ کے n ویں رکن v_n کو یوں لکھیں گے

v_n = ar^{(n-1)} \,,\,\, n \in \mathbb{N}

اس متوالیہ کے سلسلہ S_n=\sum_{i=1}^{n} v_i کو یوں معلوم کیا جا سکتا ہے


\begin{matrix}
S_n    &=&   a        &+& ar     &+&  \cdots   &+& ar^{n-2}  &+ ar^{n-1}   \\
rS_n   &=&             &&  ar     &+&   \cdots   &+&  ar^{n-2} &+ ar^{n-1} + ar^n  \\
\end{matrix}

دوسری سطر پہلی سطر کو r سے ضرب دے کر حاصل ہوئی ہے۔ پہلی سطر میں سے دوسری سطر کو منفی کر کے ہمیں حاصل ہوتا ہے

S_n - rS_n = a - ar^n

جس سے کلیہ مل جاتا ہے

S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}

لامتناہی سلسلہ[ترمیم]

لامتناہی سلسلہ کو حد کے طور پر تعریف کیا جاتا ہے، S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n اگر جواب متناہی ہو، یعنی

\ |S_\infty| < \infty

تو کہتے ہیں کہ سلسلہ مرکوز ہوتا ہے، ورنہ نہیں۔ مثال کے طور پر ہندساتی سلسلہ کو دیکھیں

S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n =\lim_{n \to \infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r}

یہ مرکوز ہوتا ہے، جب \ |r| < 1، اور

S_\infty  = \frac{a}{1-r}\,,\,\, |r|<1

کیونکہ \lim_{n\to\infty} r^n = 0 \,,\,\, |r|<1


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات