طوریہ

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

طور
طوریہ
منحنی موج
تولیف

phase
phasor
sine wave
combination

سلسہ RLC دوران اور اس کا طوریہ رسمہ
طوریہ کو بطور گھومتے ہوئے سمتیہ دیکھا جا سکتا ہے

طبیعیات اور ہندسیات میں، طور سمتیہ (طوریہ) ایک ایسی محننی موج (sine wave) کی نمائندگی کرتا ہے جس کا حیطہ (Aطور (θ)، اور تعدد (ω) "وقتی-غیرتغیر" ہوں۔ طوریہ کے استعمال سے یہ موج تین جُز سے لکھی جا سکتی ہے اور اس طرح کچھ حسابگری آسان ہو جاتی ہے۔ خاص طور پر، تعدد جُز، جو منحنی موج کی "وقت تابعی" بھی ظاہر کرتا ہے، اکثر اوقات موجوں کے لکیری تولیف کی اجزا موجوں کے لیے یکساں ہوتا ہے۔ طوریہ کے استعمال سے یہ باہر نکل آتا ہے، اور پھر ساکن حیطہ اور طور رہ جاتے ہیں، جن کی الجبرائی تولیف کی جا سکتی ہے (بجائے کہ مثلثیاتی)۔ اسی طرح لکیری تفرقی مساوات کو الجبرائی بنایا جا سکتا ہے۔ اس لیے اکثر طوریہ صرف ان دو جُز (حیطہ اور طور) کے لیے استعمال ہوتا ہے۔

تعریف[ترمیم]

عائلری کلیہ بتاتا ہے کہ منحنی موج کو دو مختلط-قدر دالہ کی حاصل جمع سے ریاضیاتی نمائندہ کیا جا سکتا ہے:

A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A/2\cdot e^{i(\omega t + \theta)} + A/2\cdot 
e^{-i(\omega t + \theta)},    

[1] یا پھر درج ذیل دالہ کے حقیقی حصہ سے:


\begin{align}
A\cdot \cos(\omega t + \theta) &= \operatorname{Re} \left\{ A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}\right\} \\
&= \operatorname{Re} \left\{ A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t}\right\}.
\end{align}

جیسا کہ اوپر بتایا گیا، طوریہ کو  A e^{i\theta} e^{i\omega t}\, لکھا جا سکتا ہے، یا صرف مختلط دائم  A e^{i\theta}\,   ۔ دوسری صورت میں یہ سمجھا جائے کہ یہ زیر نظر منحنی موج کے حیطہ اور طور کو رمز کرنے کا طریقہ ہے (اور تمام زیر نظر موجوں کا تعدد برابر ہے)۔

طوریہ کے لیے اس سے بھی زیادہ مختصر نویسی زاویہ کی علامت استعمال کرتے ہوئے  A \angle \theta.\, ہے۔

منحنی موج کو مختلط میدان میں گھومتے ہوئے سمتیہ کا حقیقی محدر پر مسقط سمجھا جا سکتا ہے۔ سمتیہ کی مطلق قدر ارتعاش کا حیطہ ہے، جبکہ اس کا استدلال (زاویہ) موج کا کُل طور \omega t+\theta ہے۔ طور دائم \theta اس زاویہ کا نمائندہ ہے جو مختلط سمتیہ حقیقی محدر سے وقت t=0 پر بناتا ہے۔


طوریہ حساب[ترمیم]

طوریہ پر لکیری عالج کے استعمال سے تعدد تبدیل نہیں ہوتا۔ اس لیے جب تک ایک ہی تعدد رکھنے والی منحنی موجیں لکیری نظام سے گزر رہی ہوں، طوریہ حساب کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔

دائم (عددیہ) سے ضرب[ترمیم]

طوریہ  A e^{i\theta} e^{i\omega t}\, کو مختلط دائم  Z e^{i\phi}\,  سے ضرب دینے سے ایک اور طوریہ حاصل ہوتا ہے۔ مطلب یہ کہ اس کا اثر منحنی موج کا حیطہ اور طور (زاویہ) تبدیل کرنے کا ہوتا ہے:


\begin{align}
\operatorname{Re}\{(A e^{i\theta} \cdot Z e^{i\phi})\cdot e^{i\omega t} \}
&= \operatorname{Re}\{(AZ e^{i(\theta+\phi)})\cdot e^{i\omega t} \} \\
&= AZ \cos(\omega t +(\theta+\phi))
\end{align}

برقیات میں Z e^{i\phi}\,  برقی مسدودیت (جو وقت سے آزاد ہوتی ہے) کی نمائندگی کر سکتی ہے۔ خیال رہے کہ اگر Z e^{i\phi}\,  سے مراد مختصر نویس علامت میں طوریہ ہو (جو "وقت-منحصری" کو چھپاتا ہے)، تو دو طوریہ کی ضرب دو منحنی موجوں کی ضرب ہے، جو کہ غیرلکیری عالج ہے، اس لیے اس ضرب سے طوریہ حاصل نہیں ہوتا۔ دو منحنی موجوں کی ضرب سے مزید تعدد کا کلمہ حاصل ہوتا ہے، جس کی نمائندگی ایک طوریہ سے نہیں ہوتی۔


جمع[ترمیم]

متعدد طوریہ کو جمع کرنے سے نیا طوریہ پیدا ہوتا ہے۔ اس وجہ سے کہ منحنی موجیں جن کا تعدد ایک ہی ہو، کا حاصل جمع بھی منحنی موج ہوتی ہے جس کا تعدد بھی وہی ہوتا ہے:


\begin{align}
A_1 \cos(\omega t + \theta_1) + A_2 \cos(\omega t + \theta_2)
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t}\} + \operatorname{Re} \{A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t} + A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\
&= \operatorname{Re} \{(A_1 e^{i\theta_1} + A_2 e^{i\theta_2})e^{i\omega t}\} \\
&= \operatorname{Re} \{(A_3 e^{i\theta_3})e^{i\omega t}\} \\
&= A_3 \cos(\omega t + \theta_3),
\end{align}

جہاں:


A_3^2 = (A_1 \cos(\theta_1)+A_2 \cos(\theta_2))^2 + (A_1 \sin(\theta_1)+A_2 \sin(\theta_2))^2

\tan(\theta_3) = \frac{A_1 \sin(\theta_1)+A_2 \sin(\theta_2)}{A_1 \cos(\theta_1)+A_2 \cos(\theta_2)}.
طوریہ کا حاصل‌جمع گھومتے سمتیہ کی جمع سے

کلیدی نکتہ یہ ہے کہ A3 اور θ3 منحصر نہیں ω اور t پر، جو طوریہ علامت ممکن بناتا ہے۔ حاصل کلام یہ کہ اگر استعمال ہونے والے عالج ایسے ہوں جو نیا طوریہ بنایا کرتے ہوں، تو حسابگری میں 'وقت' اور 'تعدد' کی منحصری کو دبایا جا سکتا ہے، اور جواب میں دوبارہ شامل کیا جا سکتا ہے۔ زاویہ کی علامت میں، اوپر والے عالج کو یوں لکھا جا سکتا ہے:

A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3

اس کو دیکھنے کا دوسرا طریقہ یہ ہے کہ دو سمتییہ جن کے متناسق [A1 cos(ωt+θ1), A1 sin(ωt+θ1)] اور [A2 cos(ωt+θ2), A2 sin(ωt+θ2)] ہوں، کو سمتیائی جمع کرنے سے جو سمتیہ حاصل ہوتا ہے اس کے متناسق [A3 cos(ωt+θ3), A3 sin(ωt+θ3)] ہیں۔ دیکھو حراک، نیلی اور سرخ منحنی موج کی حاصل جمع قرمزی رنگ کی منحنی موج ہے۔

تفریق اور تکامل[ترمیم]

طوریہ کے وقتی تفریق یا تکامل سے ایک اور طوریہ بنتا ہے۔[2] مثال کے طور پر


\begin{align}
\operatorname{Re}\left\{\frac{d}{dt}(A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t})\right\}
&= \operatorname{Re}\{A e^{i\theta} \cdot i\omega e^{i\omega t}\} \\
&= \operatorname{Re}\{A e^{i\theta} \cdot e^{i\pi/2} \omega e^{i\omega t}\} \\
&= \operatorname{Re}\{\omega A e^{i(\theta + \pi/2)} \cdot e^{i\omega t}\} \\
&= \omega A\cdot \cos(\omega t + \theta + \pi/2)
\end{align}

اسلیے، طوریہ نمائندگی میں، منحنی موج کا وقتی مشتق اس دائم i \omega = (e^{i\pi/2} \cdot \omega).\,  سے ضرب ثابت ہوتا ہے۔ بعینہ، طوریہ کا تکامل ارتباط ہے دائم i \omega = (e^{i\pi/2} \cdot \omega).\,  سے تقسیم کے۔ وقتی منحصر جُز  e^{i\omega t}\,,  متاثر نہیں ہوتا۔ جب ہم لکیری تفریق مساوات حل کر رہے ہوتے ہیں، تو ہم جُز  e^{i\omega t}\,  کو تمام اصطلاحات میں سے علیحدہ کر رہے ہوتے ہیں، اور پھر جواب میں دوبارہ گھسا دیتے ہیں۔ مثال کے طور پر درج ذیل تفریق مساوات میں مکثف کے پار وولٹیج کے لیے RC circuit:

\frac{d\ v_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_C(t) = \frac{1}{RC}v_S(t)

جب وولٹیج ماخذ منحنی موج ہو:

v_S(t) = V_P\cdot \cos(\omega t + \theta),\,

ہم عوض کر سکتے ہیں:


\begin{align}
v_S(t) &= \operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\} \\
\end{align}
v_C(t) = \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\},

جہاں طوریہ  V_s = V_P e^{i\theta},\, ، اور طوریہ V_c\, وہ نامعلوم مقدار ہے جس کا تعین کرنا ہے۔ طوریہ مختصر نویس علامت میں، تفرق مساوات بن جاتی ہے [3]:

i \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s

مکثف کے طوریہ وولٹیج کے لے حل کرنے سے ملتا ہے:


V_c = \frac{1}{1 + i \omega RC} \cdot (V_s) = \frac{1-i\omega R C}{1+(\omega R C)^2} \cdot (V_P e^{i\theta})\,

جیسے ہم نے دیکھا، مختلط دائم جُز v_C(t)\,  سے v_s(t)\,  کا اضافی حیطہ اور طور میں فرق کو ظاہر کرتا ہے۔ قطبی متناسق میں، یہ جُز ہے:

\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot e^{-i \phi(\omega)},\,    جہاں  \phi(\omega) = \arctan(\omega RC).\,

اسلیے:

v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot V_P \cos(\omega t + \theta- \phi(\omega))


حوالہ جات[ترمیم]

  1. ^
    • i تخیلاتی ایکائی ہے، جہاں (i^2 = -1)
    • برقی ہندسیات کی کتب میں تخیلاتی ایکائی کو j کی علامت سے لکھا جاتا ہے
    • موج کا تعدد ہرٹز کی ایکائی میں \omega/2\pi ہو گا
  2. ^ یہ اس :  \frac{d}{dt}(e^{i \omega t}) = i \omega e^{i \omega t} سے حاصل ہوتا ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ مشتق عالج میں اَسّی دالہ مشتق عالج کا ویژہ دالہ ہے۔
  3. ^ ثبوت:

    \frac{d\ \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{dt} + \frac{1}{RC}\operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\} = \frac{1}{RC}\operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\}

     

     

     

     

    (Eq.1)

    چونکہ یہ تمام t کے لیے سچ ہے، خاص:  t-\frac{\pi}{2\omega },\,  ، اس سے پتہ چلتا ہے کہ:

    \frac{d\ \operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{dt} + \frac{1}{RC}\operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\} = \frac{1}{RC}\operatorname{Im} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\}

     

     

     

     

    (Eq.2)

    یہ بھی فوری طور پر دیکھا جا سکتا ہے کہ

    \frac{d\ \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{dt} 
= \operatorname{Re} \left\{ \frac{d\left( V_c \cdot e^{i\omega t}\right)}{dt} \right\}
= \operatorname{Re} \left\{ i\omega V_c \cdot e^{i\omega t} \right\}
    \frac{d\ \operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{dt} 
= \operatorname{Im} \left\{ \frac{d\left( V_c \cdot e^{i\omega t}\right)}{dt} \right\}
= \operatorname{Im} \left\{ i\omega V_c \cdot e^{i\omega t} \right\}

    ان کو مساوات  Eq.1 اور  Eq.2 میں ڈال کر، مساوات  Eq.2 کو i,\,  سے ضرب دے کر، اور دونوں مساوات کو جمع کر کے حاصل ہوتا ہے:

    i\omega V_c \cdot e^{i\omega t} + \frac{1}{RC}V_c \cdot e^{i\omega t} = \frac{1}{RC}V_s \cdot e^{i\omega t}
    \left(i\omega V_c + \frac{1}{RC}V_c = \frac{1}{RC}V_s\right) \cdot e^{i\omega t}
    i\omega V_c + \frac{1}{RC}V_c = \frac{1}{RC}V_s \quad\quad(QED)

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات