عددی ثبات

اصطلاح	term
عددی عددوی ثبات تحلیل	numerical numerically stable analayis

ریاضیات کی شاخ عددی تحلیل میں عددی ثبات الخوارزم کیلِے مرغوب خاصہ مانا جاتا ہے۔ ثبات کی درست تعریف محل وقوع پر منحصر ہے، مگر اس کا تعلق الخوارزم کی راستگی سے ہے۔

متعلقہ مظہر "بےثباتی" ہے۔ محقق حیران رہ جاتے ہیں جب ان کی حسابگری غلطیوں میں دھنس جاتی ہے اگرچہ وہ یہ ثابت کر سکتے ہیں کہ وہ صحیح حساب کر رہے ہیں۔ عموماً ان کی شمارنگی کام کرتی ہے، حدی طور پر، اگر کٹی اور گولو غلطیاں نہ ہوتیں، مگر شمارندگی طریقہ پر منحصر چھوٹی غلطیاں بجائے قصری ہوئے جانے کے، بڑی ہوتی جاتی ہیں، جس سے ذلیل غلطیاں بنتی ہیں، اور اس مظہر کو بےثباتی کہتے ہیں۔

بعض اوقات ایک حسابگری مختلف طریقں سے حاصل کی جا سکتی ہے، جو سب کے سب الجبرائی طور پر برابر ہوتے ہیں حقیقی یا مختلط اعداد میں، مگر جب حسابگری کو شمارندہ پر انجام دیا جائے تو نتیجہ مختلف آئے ہے۔ کچھ حسابگریاں تقربی غلطیوں کو قصری بنا دیتی ہیں جبکہ بعض انھیں اچھال کر بڑی غلطیاں بنا دیتی ہیں۔ حسابگریاں جن بارے یہ ثابت کیا جا سکے کہ غلطیوں کو اچھال کر بڑا نہیں کرتیں کو 'عددوی ثبات کہا جاتا ہے۔ عددی تحلیل کا ایک عام کام یہ ہے کہ ایسے الخورزم کا انتخاب کیا جائے جو اکھڑ ہوں — یعنی ان کے مرغوب خاصوں میں ایک عددوی ثبات ہو۔

مثال

فرض کرو کہ ہمارے شمارندہ میں اعداد کی جمع کے لیے صرف دو عدد کی درستگی ہے۔ اس شمارندہ پر

$\ 0.10 + 0.001 = 1 \times 10^{-1} + 1 \times 10^{-3}$

کا جواب $0.10$ آئے گا۔ اسی طرح اگر $\ 1 \times 10^{-1}$ میں 100 دفعہ $\ 1 \times 10^{-3}$ جمع کیا جائے تو حاصل جمع پھر بھی $0.10$ ہو گا۔ مگر اگر پہلے 100 اعداد $\ 1 \times 10^{-3}$ کو جمع کر کے حاصل جمع کو $0.10$ میں جمع کیا جائے تو جواب $0.20$ ہو گا۔ اگرچہ ریاضیاتی قواعد کے مطابق جمع کے دونوں ترتیبیں یکساں ہیں، مگر اس شمارندہ پر پہلی ترتیب سے جواب صحیح نہیں آتا جبکہ دوسری ترتیب سے صحیح ملتا ہے۔

اس معاملہ میں ثباتی الخوارزم پہلے اعداد کو چھوٹے سے بڑے ترتیب میں چھانٹے گا اور پھر چھوٹے سے بڑے کی طرف جمع کرے گا تاکہ جواب بہتر ملے۔