فرق مساوات

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

فرق مساوات
دائم

difference equation
constant

اگر کسی متوالیہ \ \{y_n\} کا رکن \ y_n دوسرے اراکین کے دالہ کے طور پر مساوات کی صورت لکھا جا سکتا ہو، تو اس مساوات کو فرق مساوات کہتے ہیں۔

لکیری فرق مساوات (درجہ اول)[ترمیم]

پہلے درجے کی لکیری فرق مساوات کی ہئیت یوں ہوتی ہے

 
\  y_n = \alpha y_{n-1}  +  b

‎جہاں \ \alpha, b دائم اعداد ہیں۔ وجہ تسمیہ دیکھنے کیلئے مساوات کو یوں لکھتے ہیں

 
y_n - y_{n-1} =\beta y_{n-1}  +  b  \,\,,\,\,\,\,\,  \beta =  (\alpha - 1)

یعنی متوالیہ کے دو یکے بعد دیگرے ارکان کا فرق، پہلے رکن کے نسبی جوڑ کے طور پر منحصر ہے۔ اس مساوات کا حل دیکھنے کے لیے متوالیہ کے کچھ ارکان لکھتے ہیں، یہ سمجھتے ہوئے کہ \ y_0 ہمیں معلوم ہے:


\begin{matrix}
y_1 = \alpha y_0 + b    \\
y_2 = \alpha y_1 + b =  \alpha (\alpha y_0 + b) +b = \alpha^2 y_0 + \alpha b + b \\
y_3 = \alpha y_2 + b =  \alpha (\alpha^2 y_0 + \alpha b + b) +b = \alpha^3 y_0 + \alpha^2 b + \alpha b+ b \\
\cdots \\
y_n = \alpha^n y_0 + (1+ \alpha+ \cdots + \alpha^{n-1}) b  
\end{matrix}

آخری متوالیہ کی جمع جانتے ہوئے، مساوات کا حل یوں:


y_n = \alpha^n y_0 + \frac{(1 - \alpha^{n})}{1-\alpha}  b  \,\,\,,\,
 \alpha \ne 0 \,,\,\,\, n=0,1,2,3,\cdots

اس سے واضح ہے کہ ‎
\lim_{n \to \infty}y_n = \left\{
\begin{matrix}
\frac{b}{1-\alpha}         \,,  &  |\alpha| < 1  \\
\infty                               \,, &  |\alpha| \ge 1
\end{matrix}
\right.


مثال[ترمیم]

فرض کرو کہ چائے کی گرم پیالی میز پر رکھی ہے۔ کمرے کا درجہ حرارت \ R=20^\circ C ہے، اور چائے کا درجہ حرارت \ y_n ہے، منٹ \ n پر۔ علم حرارت کے قانون کے مطابق چائے کا درجہ حرارت اس فرق مساوات کے زیر ہے


\  y_n - y_{n-1} = k (y_{n-1} - R)

فرض کرو کہ وقت صفر پر چائے کا درجہ حرارت \ 80^\circ C تھا، یعنی \ y_0=80 ۔ ایک منٹ بعد درجہ حرارت \ 70^\circ C نوٹ کیا گیا، یعنی \ y_1=70 ۔ اس طرح ہمیں دائم k کی قیمت معلوم ہو جاتی ہے: \  70-80 = k (80-20) \, \Rightarrow \,   k=-1/6 درجہ حرارت کی مساوات کو معیاری ہئیت میں یوں لکھا جا سکتا ہے: ‎
y_n = (1+k) y_{n-1} - kR
Diff plot.png
‎ اور اس کا حل کچھ سادگی کے بعد: ‎
y_n = 60 (\alpha)^n  + 20  \,\,\,,\,    \alpha=\frac{5}{6}      \,\,,\, n=0,1,2,3,\cdots

چائے کا درجہ حرارت \ y_0=80 ڈگری سے گرتا ہؤا \ y_\infty=20 ڈگری تک جاتا ہے، چونکہ \ \lim_{n \to \infty} (5/6)^n = 0 ۔ پلاٹ سے معلوم ہوتا ہے کہ تقریباً  4\tau=24 منٹ میں چائے ٹھنڈی ہو کر کمرے کے درجہ حرارت کے قریب پہنچ جاتی ہے، جہاں \ \tau=\frac{1}{|1-|\alpha||} فرق مساوات کا وقتی دائم کہلاتا ہے۔


پہلے درجے کی اس مساوات ‎ 
\  y_n = \alpha y_{n-1}  +  b
‎ کو n کی منفی جانب بھی بڑھایا جا سکتا ہے، جس کے لیے ہم اس مساوات کو یوں لکھتے ہیں: 
\ y_{n-1} = \alpha^{-1}b - \alpha^{-1} y_n 
اوپر والے طریقے سے اس کا حل یہ نکل آتا ہے: 
\  y_{-n} = -\alpha^{-n} y_0 + \alpha^{-1}b \frac{1-\alpha^{-n}}{1-\alpha^{-1}}
\,,\, \alpha \ne 0  \,,\,\, n=1,2,\cdots

اس بار یہ واضح ہے کہ: 
\lim_{n \to \infty}y_{-n} = \left\{
\begin{matrix}
\frac{\alpha^{-1}b}{1-\alpha^{-1}}         \,,  &  |\alpha| > 1  \\
\infty                               \,, &  |\alpha| \le 1
\end{matrix}
\right.


پہلی درجہ کی فرق مساوات کی زیادہ عام ہئیت یوں لکھی جا سکتی ہے، جہاں \ \{u_n\} کوئی بھی دیا گیا متوالیہ ہو سکتا ہے:

 
y_n = \alpha y_{n-1}  +  u_n


جس کا حل بھی اوپر دیے طریقے سے نکالا جا سکتا ہے۔ غور کرو کہ اوپر کی بحث میں\ u_n = b ایک دائم تھا۔

مثال[ترمیم]

فرق مساوات جس کو ایک کمپلکس سائینوسائڈ چلا رہا ہے:

 
y_n = \alpha y_{n-1}  +  \exp(\iota 2 \pi \nu n)

اگرچہ اس مساوات کا حل ہم اوپر دیے گئے طریقے سے نکال سکتے ہیں، مگر یہاں ہم حل کی ایک ہئیت تجویز کرتے ہیں، یہ دیکھتے ہوئے کہ ہمیں 
y_n = \alpha y_{n-1} + b
کا حل معلوم ہے، اور ارتعاش ایک کمپلکس سائنوسایڈ ہے۔ تجویز کردہ حل کی ہئیت یوں ہے، جہاں A اور B نامعلوم دائم ہیں:

 
y_n = A \alpha^n  +  B \exp(\iota 2 \pi \nu n)

اب یہ سمجھتے ہوئے کہ n=0 پر ہمیں y_0 معلوم ہے، اس میں ڈال دیتے ہیں، اور A اور B میں ایک رشتہ معلوم کر لیتے ہیں:  
y_0 = A \alpha^0  +  B \exp(\iota 2 \pi \nu 0)  \Rightarrow y_0 = A + B

اب چونکہ حل کو مساوات کی تسکین کرنی ہے، اس لیے:

 
(y_0-B) \alpha^n + B  \exp(\iota 2 \pi \nu n) = \alpha \left((y_0-B) \alpha^{n-1} + B  \exp(\iota 2 \pi \nu (n-1))\right) + \exp(\iota 2 \pi \nu n)  
جس سے ہمیں نامعلوم B کی قیمت معلوم ہو جاتی ہے:


\Rightarrow B = \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu )}
اور اب مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے: 
y_n = \alpha^n y_0 - \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu)} \alpha^n + \frac{1}{1-\alpha \exp(-\iota 2 \pi \nu)} \exp(\iota 2 \pi \nu n)

First diff eqn sinusoid.png

اس حل کو ہم  \alpha=0.9 \,, \, \nu=0.04 \,,\, y_0=0 کیلئے ہم پلاٹ کر سکتے ہیں۔ پلاٹ میں نیلے رنگ میں سائینوسائڈ ارتعاش دکھایا گیا ہے، جبکہ\Re(y_n) سرخ رنگ میں ہے۔ دیکھو کہ تقریباً \ 4 \tau=40 کے بعد \ y_n خود بھی ایک عام سائنوسائڈ بن جاتا ہے (جہاں وقتی دائم \ \tau=\frac{1}{|1-|\alpha||}) ۔

درجہ N کی لکیری فرق مساوات[ترمیم]

درجہ N کی لکیری فرق مساوات کی ہئیت یہ ہے:

\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} + \cdots + \alpha_{N} y_{n-N} = 0

لکیری مساوات کہنے کی وجہ یہ ہے، کہ اس مساوات کے اگر دو حل \{y^{(1)}_n\} اور \{y^{(2)}_n\} ہوں، تو ان حل کا لکیری جوڑ (مثلاً \{y^{(1)}_n + y^{(2)}_n\} ) بھی اس مساوات کا حل ہو گا۔ درجہ N کی مساوات کے N آزاد حل ہوں گے جو کہ اس مساوات کے حل ہوں گے- مساوات کا عام حل ان N حلوں کا لکیری جوڑ ہو گا۔

درجہ دوم کی لکیری فرق مساوات[ترمیم]

دوسرے درجہ کی فرق مساوات 
\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} = 0
اس کے ایک حل کی ہئیت یہ تصور کرتے ہوئے، 
y_n^{(1)} = A \lambda^n
جہاں A ایک دائم ہے، یہ حل ہم مساوات میں ڈال دیتے ہیں: 
\begin{matrix}
\alpha_0 A \lambda^n + \alpha_{1} A \lambda^{n-1} + \alpha_{2} A \lambda^{n-2}  =& 0 \\

A \lambda^{n-2} \left(\alpha_0  \lambda^2 + \alpha_{1}  \lambda^{1} + \alpha_{2}\right)   =& 0 \\

\alpha_0  \lambda^2 + \alpha_{1}  \lambda^{1} + \alpha_{2}  =& 0
\end{matrix}

اُپر کی مساوات سے \ \lambda کا حل یوں نکل آتا ہے 
\lambda_0, \lambda_1 = \frac{-\alpha_1 \pm \sqrt{\alpha_1^2 - 4 \alpha_0 \alpha_2}}{2 \alpha_0}
جس سے ہمیں فرق مساوات کے دو حل بنا سکتے ہیں۔ فرق مساوات کا عام حل ان دو کے لکیری جوڑ سے یوں بنتا ہے:

y_n = A_0 \lambda_0^n + A_1 \lambda_1^n
جہاں A_0, A_1 دو دائم ہیں، جن کی قیمت ہم معلوم کر سکتے ہیں، اگر ہمیں ابتدائی y_0, y_1 معلوم ہوں، نیچے دی مساوات کو حل کر کے:


\begin{matrix}
y_0 = A_0 \lambda_0^0 + A_1 \lambda_1^0  \\
y_1 = A_0 \lambda_0^1 + A_1 \lambda_1^1
\end{matrix}

اگر \lambda_0=\lambda_1 (یعنی  \alpha_1^2 - 4 \alpha_0 \alpha_2 =0) تو فرق مساوات کا حل یوں لکھا جائے گا:


y_n = A_0 \lambda_0^n + A_1 n \lambda_0^n

مثال[ترمیم]

فرض کرو کہ درجہ دوم کی مساوات کے عددی سر یوں ہیں \alpha_0=1, \alpha_1=-1.96, \alpha_2=0.98
تو اس مساوات کے جزر نکالنے ہیں: \ \alpha_0  \lambda^2 + \alpha_{1}  \lambda^{1} + \alpha_{2}  = 0
جو کہ مختلط عدد ہیں 
\  \lambda, \bar{\lambda} = 0.98 \pm \iota 0.14 = 0.99 \exp(\pm \iota 0.142)
اب دوسرے درجے کی فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے

\ y_n = A_0 \lambda^n + A_1 \bar{\lambda}^n
جہاں دائم \ A_1, A_0 ابتدائی حالت سے نکالے جائینگے۔ Diff2 eq u.png
فرض کرو کہ ابتدائی حالت یہ ہے: \ y_0=0, y_{-1}=-1 یوں سمجھو کہ یہ مساوات دو ستونوں کے درمیان سختی سے بندھی ہوئی ایک لوہے کی تار کی حالت بیان کر رہی ہے۔ تار کو وقت "منفی ایک" پر کھینچ کر چھوڑ دیا جاتا ہے، جس کہ بعد تار کچھ دیر ارتعاش میں رہ کر اپنی اصل حالت پر واپس آ جاتی ہے۔
ابتدائی حالت کو استعمال کرتے ہوئے دائم نکالتے ہیں: 
\  y_0 = 0 = A_0 \lambda^0 + A_1 \bar{\lambda}^0
جس سے پتہ چلتا ہے کہ \ A_1 = -A_0 اور \begin{matrix}
y_{-1} = -1 = A_0 \lambda^{-1} - A_0 \bar{\lambda}^{-1}  \\
\longrightarrow  
A_0 = \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda-\bar{\lambda}} = \frac{7}{\iota 2}
\end{matrix}
اب فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے: \begin{matrix}
y_n = \frac{7}{2 \iota} (0.99)^n \left(  \exp(\iota 0.142 n) - \exp(-\iota 0.142 n)     
\right)  \\
y_n = 7 (0.99)^n \sin(0.142 n)
\end{matrix}
پلاٹ میں غور کرو کہ تقریبا 4 \tau=400 وقت کے بعد سائینوسایڈ (مساوات کا حل ) تقریباً صفر ہو جاتا ہے، جہاں وقتی دائم \  \tau=\frac{1}{|1-|\lambda||}


درجہ N کی لکیری فرق مساوات کی زیادہ عام ہئیت یہ ہے: 
\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} + \cdots + \alpha_{N} y_{n-N} = u_n
اس مساوات کو بیرونی ارتعاش \ u_n چلا رہا ہے۔ اس مساوات کے حل میں اوپر کےN حلوں کے علاوہ ایک رقم جو \ u_n پر منحصر ہو گی، جمع کی جائے گی۔

میٹرکس صورت[ترمیم]

اس درجہ N کی لکیری فرق مساوات کو ہم ایک میٹرکس مساوات کی صورت لکھیں گے۔ اس کے لیے ہم ایک ستون میٹرکس 
Y_n =\begin{bmatrix} 
y_{n-N+1} \\  \vdots \\ y_{n-1} \\  y_{n} 
 \end{bmatrix}


بناتے ہیں۔ اب \ Y_{n} اور \ Y_{n-1} پر غور کرتے ہوئے، درجہ N کی فرق مساوات کو پہلے درجہ کی میٹرکس مساوات کی صورت یوں ڈھالا جا سکتا ہے: 
\begin{bmatrix} 
y_{n-N+1} \\  \vdots \\   \vdots \\  y_{n-1}  \\  y_{n} 
 \end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
0                    &       1            &  0      & \cdots  & 0             \\
\vdots        &       0           &  1     &                  &  \vdots \\
\vdots        &      \vdots &        &  \ddots &  \vdots \\
0                   &      0             &        &                  &  1              \\
\frac{-\alpha_N}{\alpha_0}  & \frac{-\alpha_{N-1}}{\alpha_0}  &  \cdots    & \cdots &    \frac{-\alpha_1}{\alpha_0}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 
y_{n-N} \\  y_{n-N+1}  \\  \vdots  \\   \vdots  \\  y_{n-1} 
 \end{bmatrix} 
+
\begin{bmatrix} 
0 \\  0 \\ \vdots  \\ 0 \\ u_{n} 
 \end{bmatrix}
یا


\  Y_n = A Y_{n-1} + U_n


جہاں \ A سائیز \ N \times N کی مربع میٹرکس ہے۔ اب اس میٹرکس مساوات سے \ Y_n متوالیہ سائیلیب میں بآسانی نکالا جا سکتا ہے۔ ستون میٹرکس \ Y_n کا کوئی بھی جُز اصل فرق مساوات کا حل ہے۔ پہلے درجہ کی میٹرکس فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے: 
\ Y_n = A^n Y_0 + \sum_{k=0}^{n-1} A^k U_k  \,\,,\, n=0,1,2,\cdots

ویژہ قیمت[ترمیم]

اوپر دی درجہ دوم کی لکیری فرق مساوات کی مثال 
\alpha_0 y_n + \alpha_{1} y_{n-1} + \alpha_{2} y_{n-2} = 0
کو میٹرکس صورت لکھو، تو میٹرکس یہ ہو گی: 
A = \left[\begin{matrix}
0                                          &           1 \\
-\frac{\alpha_2}{\alpha_0}   & -\frac{\alpha_1}{\alpha_0}
\end{matrix}\right]
اب اگر اس میٹرکس کی ویژہ قیمت نکالی جائے 
\det(A - \lambda I ) = 0
تو وہی مساوات مل جاتی ہے 
\alpha_0  \lambda^2 + \alpha_{1}  \lambda^{1} + \alpha_{2}  = 0
اس سے معلوم ہوتا ہے کہ فرق مساوات کے حل پر اس میٹرکس (یا فرق مساوات) کی ویژہ قیمتوں کا راج ہوتا ہے۔

اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات