قطار اور ستون فضا

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
  • تعریف: ایک میٹرکس کی قطاروں کو قطار سمتیہ کہا جاتا ہے، یعنی ان کو \mathbb{R}^n سمتیہ فضا میں سمتیہ سمجھا جا سکتا ہے۔

مثال کے طور پر میٹرکس 
A= \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} \\
a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} 
\end{matrix}\right]
کے دو قطار سمتیہ، فضاء \mathbb{R}^3 میں یہ ہیں: 
r_0 = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} 
\end{matrix}\right], 

r_1 = \left[\begin{matrix}
a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} 
\end{matrix}\right],

  • تعریف: ایک میٹرکس کے ستونوں کو ستون سمتیہ کہا جاتا ہے، یعنی ان کو \mathbb{R}^n سمتیہ فضا میں سمتیہ سمجھا جا سکتا ہے۔

مثال کے طور پر میٹرکس A کے تین ستون سمتیہ، فضاء \mathbb{R}^2 میں یہ ہیں: 
c_0 = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} \\ a_{1,0} 
\end{matrix}\right],

c_1 = \left[\begin{matrix}
a_{0,1} \\ a_{1,1} 
\end{matrix}\right],

c_2 = \left[\begin{matrix}
a_{0,2} \\ a_{1,2} 
\end{matrix}\right],

قطار فضا[ترمیم]

میٹرکس کے قطار سمتیوں کے لکیری جوڑ سے جو سمتیہ فضا بنتی ہے اسے قطار فضا کہتے ہیں۔ یعنی قطار سمتیہ کو عبری سمتیہ کے بطور استعمال کرتے ہوئے \mathbb{R}^n کی جو سمتیہ ذیلی فضا عبور ہوتی ہے، وہ قطار فضا کہلائے گی۔ اوپر کی مثال میں لکیری جوڑ
 \beta_0 r_0 + \beta_1 r_1 \,,\, \beta_i \in \mathbb{R}
سے پیدا ہونے والی \mathbb{R}^3 کی ذیلی فضا کو اس میٹرکس A کی قطار فضا کہیں گے۔

ستون فضا[ترمیم]

میٹرکس کے ستون سمتیوں کے لکیری جوڑ سے جو سمتیہ فضا بنتی ہے اسے ستون فضا کہتے ہیں۔ یعنی ستون سمتیہ کو عبری سمتیہ کے بطور استعمال کرتے ہوئے \mathbb{R}^n کی جو سمتیہ ذیلی فضا عبور ہوتی ہے، وہ ستون فضا کہلائے گی۔ اوپر کی مثال میں لکیری جوڑ
 \beta_0 c_0 + \beta_1 c_1 +  \beta_2 c_2 \,,\, \beta_i \in \mathbb{R}
سے عبور ہونے والی \mathbb{R}^2 کی ذیلی فضا کو اس میٹرکس A کی ستون فضا کہیں گے۔

بُعد فضا[ترمیم]

کسی بھی میٹرکس کی قطار فضا اور ستون فضا کے بُعد فضا (dimension) برابر ہوتے ہیں۔ اور یہ بعد میٹرکس کا رتبہ کہلاتا ہے۔ غور کرو ک ایک \ m \times n میٹرکس کا رتبہ \ \min(m, n) کے برابر یا اس سے کم ہو گا۔

مثلئہ اثباتی[ترمیم]

ایک میٹرکس A جس کے ستونوں کی تعداد n ہو، اس میٹرکس کے رتبہ (rank) اور میٹرکس کی "عدیمہ فضا کے بُعد" (nullity) کی جمع n ہو گی۔ یعنی


\hbox{rank(A)} + \hbox{nullity(A)} = n


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات