قوتی سلسلہ

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش

قوتی سلسلہ[ترمیم]

ریاضی میں ایک لامتناہی سلسلہ ہوتا ہے جسے اس طرح سے ظاہر کرتے ہیں۔

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

یہ عموما کسی دالہ (function) کے ٹیلر سلسلہ میں توسیع کی صورت میں پیدا ہوتا ہے۔

اگر یہاں c کی قدر صفر ہو تو یہ میکلارن سلسلہ کہلاتا ہے اور اسے اس طرح سے لکھا جا سکتا ہے۔


f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

قوتی سلسلے ریاضیاتی تحلیل، تالیفیات (combinatorics) (جہاں یہ تولیدی دالہ (generating function) کے نام سے جانے جاتے ہیں) اور ہندسیات (engineering) میں بہت زیادہ استعمال ہوتے ہیں۔

مثالیں[ترمیم]

کثیر رقمی (polynomial) کو بہت آسانی سے قوتی سلسلے کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر f(x) = x^2 + 2x + 3 کو قوتی سلسلے کی شکل میں اس طرح ظاہر کر سکتے ہیں جب c کی قدر صفر ہو۔

f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,

c کی قدر 1 پر اسے اس طرح لکھیں گے۔

f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,

کچھ مشہور قوتی سلسلے مندرجہ ذیل ہیں۔

 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,
 e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,
 \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

منفی قوت والے سلسلے کو قوتی سلسلہ نہیں کہتے، مثال کے طور پر 1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots قوتی سلسلہ نہیں ہے۔

بیرونی روابط[ترمیم]