لاگرینج ضارب

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
Figure 1: Find x and y to maximize f(x,y) subject to a constraint (shown in red) g(x,y)=c.
Figure 2: Contour map of Figure 1. The red line shows the constraint g(x,y)=c. The blue lines are contours of f(x,y). The point where the red line tangentially touches a blue contour is our solution.

ریاضیاتی کاملیت میں، طریقۂ لاگرینج ضارب (جو لاگرینج کے نام پر بولا جاتا ہے) کسی دالہ جو بندشوں کے زیر ہو کے عظمٰات اور صغیرات ڈھونڈنے کی ایک حکمت عملی فراہم کرتا ہے۔

مثال کے طور پر (بائیں طرف شکل 1 دیکھو) کاملیت مسئلہ کو برتو، جس میں دالہ f(x, y) کی تکبیر کرنا ہے جبکہ بندش g(x, y) = c کی بھی تسکین ہوتی ہو، یعنی

maximize f(x, y) \,
subject to g(x, y) = c.\,

اب ہم نیا متغیر (\lambda) متعارف کراتے ہیں، جسے لاگرینج ضارب کہتے ہیں، اور اس لاگرینج دالہ کا مطالعہ کرتے ہیں جو یوں تعریف ہے:

 \Lambda(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \cdot \Big(g(x,y)-c\Big).

اگر نقطہ (x, y) اعظمی ہو اصل بندشی مسئلہ کا، تو پھر ایسا λ وجود رکھتا ہو گا کہ نقطہ (x,y,\lambda) لاگرینج دالہ Λ کا ساکن نقطہ ہو (ساکن نقاط وہ نقاط ہیں جہاں Λ کا جزوی مشتق صفر ہوں)۔ البتہ، تمام ساکن نقاط اصل مسئلہ کا حل نہیں دیتے۔ اس لیے، طریقۂ لاگرینج ضارب بندشی مسائل میں کاملیت کی لازم شرط ہے۔ [1][2][3][4][5]


  1. ^ Bertsekas, Dimitri P. (1999). Nonlinear Programming (Second ed.). Cambridge, MA.: Athena Scientific. ISBN 1-886529-00-0.
  2. ^ سانچہ:Springer.
  3. ^
    • Lasdon, Leon S. (1970). Optimization theory for large systems. Macmillan series in operations research. New York: The Macmillan Company. pp. xi+523. سانچہ:MR.
    • Lasdon, Leon S. (2002). Optimization theory for large systems (reprint of the 1970 Macmillan ed.). Mineola, New York: Dover Publications, Inc.. pp. xiii+523. سانچہ:MR.
  4. ^ Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (1993). "XII Abstract duality for practitioners". Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 306. Berlin: Springer-Verlag. pp. 136–193 (and Bibliographical comments on pp. 334–335). ISBN 3-540-56852-2.
  5. ^ Lemaréchal, Claude (2001). "Lagrangian relaxation". In Michael Jünger and Denis Naddef. Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May 15–19, 2000. Lecture Notes in Computer Science. 2241. Berlin: Springer-Verlag. pp. 112–156. doi:10.1007/3-540-45586-8_4. ISBN 3-540-42877-1. سانچہ:MR.doi:10.1007/3-540-45586-8_4.