مستقل نقطہ

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term
مستقل نکتہ Fixed point

تعریف: ایک فنکشن  \ f(x) کا مستقل نکتہ ایسے \ x^* کو کہا جاتا ہے، اگر

\ x^* = f(x^*)

واضح رہے کہ ہر فنکشن کے لیے اس کا مستقل نکتہ ہونا ضروری نہیں۔

اگر مستقل نکتہ باکشش ہو، تو کسی بھی نکتہ پر فنکشن کے جواب پر فنکشن کی تکرار کرنے سے مستقل نکتہ تک پہنچا جا سکتا ہے۔

 f\left(\cdots f\left(f\left(f(x)\right)\right)\right) \to x^{*}

اسے ہم ایک مثال سے واضح کرتے ہیں:

n X_n
0 45
1 22.72
2 11.80
3 6.75
4 4.86
5 4.49

مثال[ترمیم]

اصطلاح term
تکرار
رَجعت نسبت
ناصف
باکشش
ٰIteration
recurrence relation
bisector
attractive
تصویر 1

درج ذیل رَجعت نسبت، عدد a کا مربع جزر (square root) نکالنے کے لیے استعمال ہو سکتی ہے۔

 X_n = \frac{1}{2} \left( X_{n-1} + \frac{a}{X_{n-1}} \right) \,,\, n=0,1,2,\cdots

X_{\infty}=\sqrt{a} اس کا مستقل نکتہ ہے، جو اس مساوات کو یوں لکھ کر

 x = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right)

تسلی کی جا سکتی ہے کہ x=\sqrt{a} اس کا حل ہے۔

جدول میں اس رَجعت نسبت مساوات کی a=20 کے لیے کچھ تکرار دکھائی گئی ہیں۔ ہم X_{0}=45 سے شروع کرتے ہیں۔ دیکھو یہ جلد ہی اپنے مستقل نکتہ \sqrt{20} \approx 4.472 کے قریب پہنچ جاتا ہے۔ اسی عمل کو گراف کے زریعہ تصویر 1 میں دکھایا گیا ہے۔ اس تصویر میں سبز رنگ سے فنکشن (map)

 y = f(x) = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right)

دکھائی گئی ہے، جبکہ نیلے رنگ میں خط تنصیف

 y=x      (ناصف)

دکھایا ہے۔ ان گراف (نیلے ناصف اور سبز فنکشن) کا سنگم اس رَجعت نسبت کا مستقل نکتہ ہے۔ تکرار کے عمل کو ہم یوں سمجھ سکتے ہیں۔ X_1 کو رَجعت مساوات سے گزارنے کے عمل کو X_1 سے سبز گراف تک جاتی ہوئی عمودی سرخ لکیر سے دکھایا گیا ہے، جہاں سے افقی سرخ لکیر اسے نیلی لکیر سے منعکس ہو کر X_2 بنتا دکھاتی ہے۔ اس طرح ایک تکرار مکمل ہوتی ہے۔

یہ تصویر بنانے کا سائیلیب سکرپت یہاں ہے۔




اور دیکھیے[ترمیم]

مستقل نکتہ اردو Urdu Fixed point



E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات