مسطح مخطط

مثال مُخطط
مسطح	غیر مسطح
	K5
مکمل مخطط K4 مستوی ہے	K3,3

اصطلاح	term
مُخطط قِمّہ، اقمات کنارہ مستوی مسطح یحیط چہرہ	graph vertex, vertices edge plane planar bounded face

ریاضی کی شاخ نظریۂ مخطط میں ایسا مخطط جسے صفحہ (مستوی میں) پر اس طرح بنایا جا سکے کہ کوئ کنارہ کسی دوسرے کو نہ کاٹے، کو مسطح مخطط کہا جاتا ہے۔

ایسا مخطط جسے اس طرح نہ بنایا جا سکے کو غیرمسطح مخطط کہتے ہیں۔

پانچوں افلاطونی ٹھوس سے بننے والے مخطط مسطح ہیں، کیونکہ انھیں اس طرح صفحہ پر بنایا جا سکتا ہے کہ کوئ کنارہ دوسرے کو نہ کاٹے۔ مثلاً مکعب کو یوں بنایا جا سکتا ہے۔

تعریف: چہرہ: مسطح مخطط کو اس طرح بنایا جائے کہ کوئ کنارہ دوسرے کو نہ کاٹے، تو یہ مخطط مستوی کو اضلاع میں تقسیم کرتا ہے، جنہیں چہرے کہا جاتا ہے۔ ان میں سے ایک چہرہ لایحیط ہو گا اور اسے لامتناہی چہرہ کہا جائے گا۔ اگر f چہرہ ہو، تو اس چہرہ کا درجہ deg f اس چہرے کے گرد چلتے ہوئے کناروں کی تعداد کو کہتے ہیں۔ اگر تمام چہروں کا درجہ برابر ہو (کہو d) تو مخطط کو "چہرہ باقاعدگی درجہ d کے ساتھ" کہا جائے گا۔

عائلر کلیہ

متصل مسطح مخطط (ایسے بنایا جائے کہ کوئ کنارہ کسی کو نہ کاٹے) کے اقمات کی تعداد کو n، کناروں کی تعداد کو m، اور چہروں کی تعداد کو f کہتے ہوئے، یہ سچ ہو گا کہ

n-m+f = 2

ذیلی تقسیم

اگر مخطط مسطح ہو تو اس مخطط کی تمام ذیلی‌تقسیمات بھی مسطح ہونگی۔ اسے ہم یوں بھی بیان کر سکتے ہیں کہ: اگر مُخطط G کسی غیر‌مسطح مخطط کی ذیلی‌تقسیم ہو، تو G بھی غیر‌مسطح ہو گا۔ جیسا کہ نیچے دیے مسلئہ اثباتی سے ظاہر ہے اس سلسلہ میں غیرمسطح مخطط K₅ اور K_3,3 (اُوپر تصویر) بہت اہمیت کے حامل ہیں۔

کراتوسکی مسئلہ اثباتی

مخطط مسطح ہو گا اگر بشرط اگر اس مخطط میں K₅ یا K_3,3 کی ذیلی‌تقسیم شامل نہ ہو بطور ذیلی‌مخطط کے۔

اگر ہمیں کسی مخطط کا ایسا ذیلی مخطط نظر آ جائے جو K₅ یا K₅ کی ذیلی تقسیم ہو، تو ہم فوراً بھانپ لیں گے کہ یہ مخطط غیرمسطح ہے۔ عملی طور پر یہ طریقہ مسطحی پرکھنے کے کام نہیں آتا کیونکہ مخطط کے ذیلی مخطط کی تعداد بہت زیادہ ہو سکتی ہے۔

بیرونی روابط

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات