مطابقت

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش

تعریف: اگر صحیح عدد a صحیح عدد b کو (پورا) تقسیم کرتا ہے، تو اس کو یوں لکھا جاتا ہے: \ a | b
مثال: \ 2 | 6

مطابقت (تعریف): چلو \ m>0 ۔ ہم کہتے ہیں کہ a مطابق ہے b کے، بہ چکر m ، اگر \ m | b-a اور اس کو یوں لکھتے ہیں
\ a \equiv b \mod m
مثال:
\ 18 \equiv 4 \mod 7 کیونکہ \ 7 | 18-4


\ 18 \equiv 0 \mod 6 کیونکہ \ 6 | 18-0

مطابقت کو انگریزی میں congruence کہتے ہیں، اور بہ چکر کو modulo یا mod ۔ اس طرح مساوات کے طور پر لکھنا بہت مفید ثابت ہوتا ہے، جیسا کہ ہم نیچے دیکھیں گے۔

مسلئہ اثباتی[ترمیم]

چلو \ m>0 قدرتی عدد ہو ۔ نیچے a اور b صحیح عدد ہیں، اور \ m_1>0

  • اگر \ a \equiv b \mod m ، تو پھر

\ b \equiv a \mod m

  • اگر \ a \equiv b \mod m اور \ b \equiv c \mod m ، تو پھر

\ a \equiv c \mod m

  • \ (a +b)  \mod m = (a \mod m) +  (b  \mod m)
  • \ (a  \times b)  \mod m = (a \mod m) \times  (b  \mod m)
  • اگر \ a \equiv b \mod m اور \ m_1 | m ، تو پھر

\ a \equiv b \mod m_1

مثال:
 \begin{matrix}
3^3 \mod 4  &=& ((3 \times 3) \mod 4) \times 3 \mod 4  \\
&=& (9 \mod 4) \times 3 \mod 4  \\
&=& 5 \times 3 \mod 4  \\
&=& 15 \mod 4 = 3  \\
\end{matrix}

مثلئہ اثباتی[ترمیم]

اگر صحیح اعداد a اور b کا عاد اعظم \ \gcd(a,b)=m_1 > 0 ہو، اور \ m=m_1  \times m_2 >0 ، تو
\ a x \equiv a y  \mod m   \iff  x \equiv y \mod m_2

مثال: دی گئی مساوات:  35 \equiv 5 \mod 6
اب چونکہ  \gcd(6,5)=1 اس لئے ہم مساوات کے دونوں طرف 5 سے کاٹ سکتے ہیں:  7 \equiv 1 \mod 6
اس مثٓال میں مسلئہ کی ایک خاص صورت استعمال ہوئی ہے، جسے "کاٹنے" کا اصول کہتے ہیں۔

مسلئہ اثباتی[ترمیم]

اگر  a \equiv b  \mod m
تو پھر  a^n \equiv b^n  \mod m
کسی بھی مثبت n کے لیے۔

مطابقت جماعت[ترمیم]

بہ چکر n کا عمل صحیح اعداد کو n جماعتوں میں بانٹ دیتا ہے۔ مثلاً n=3 کے لیے، یہ تین جماعتیں بنتی ہیں:  \begin{matrix}
\{ \cdots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \cdots \}, \\
\{ \cdots, -10, -7, -4, 1, 4, 7, 10, \cdots \}, \\
\{ \cdots, -11, -8, -5, 2, 5, 8, 11,\cdots \} \\
\end{matrix}
ان جماعتوں کے نمائندہ ارکان 0 ، 1 ، اور 2، ہیں۔ گویا n=3 کا ایک مطابقت نظام \ \{0,1,2\} ہے، جو اس کا بنیادی مطابقت نظام کہلاتا ہے۔ اسی طرح دوسرے مطابقت نظاموں میں شامل ہیں:
\ \{1,2,3\} ، \ \{2,3,4\} وغیرہ۔

مطابقت مساوات[ترمیم]

مسلئہ اثباتی: درجہ اول کی مطابقت مساوات

a x \equiv b  \mod m
اس مساوات کا حل ممکن ہے، اور صرف اسی صورت ممکن ہے، جب \ \gcd(a,m) | b
اگر ایک حل x=x_0 ہے، تو تمام حل یوں لکھے جا سکتے ہیں
 x  = x_0 + \frac{m v}{\gcd(a,m)} جہاں v بھاگتا ہے بہ چکر  \ \gcd(a,b) کے کسی بھی مطابقت نظام میں۔

مثال[ترمیم]

مساوات

9 x \equiv 33  \mod 48
اب چونکہ \ \gcd(9,48)=3، اور 3 تقسیم کرتا ہے 48 کو، اس لیے اس مساوات کا حل موجود ہے۔ ایک حل x_0=9 ہے۔ اور سارے حل یوں ہیں:
 x  = 9 + \frac{48 v}{3} = \{9, 25, 41\}
چونکہ v عدد 3 کے بنیادی مطابقت نظام میں بھاگتا ہے، v=\{0,1,2\}


اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات