گروہ (ریاضی)

اصطلاح	term
گروہ شناخت عنصر عالجہ ثنائ مجموعہ متناظر	group identity element operator binary set symmetric

گروہ عناصر کا ایسا مجموعہ ہوتا ہے، جس میں ایک عالج متعرف ہوتا ہے، کہ کسی بھی دو عناصر کو عالج سے گزار کر اسی مجموعہ کا عنصر حاصل ہوتا ہے۔ گروہ کے لیے کچھ مسلمات پورے ہونا ضروری ہوتا ہے، جو مشارکی، شناخت عنصر، اور اُلٹ عنصر کے متعلق ہوتے ہیں۔ صحیح اعداد کا مجموعہ، جمع کے عالج کے ساتھ، ایک گروہ ہے، کہ کسی بھی دو اعداد کو جمع کر کے صحیح عدد ملتا ہے، صفر (شناخت عنصر) کو کسی بھی عدد میں جمع کرنے سے اس عدد میں کوئ تبدیلی نہیں ہوتی، کسی عدد کے منفی (اُلٹ عنصر) کو اس میں جمع کرنے سے صفر ملتا ہے، اور جمع مشارکی خصوصیت رکھتی ہے۔

تعریف: عناصر کا غیرخالی مجموعہ G ایک ثنائ عالج $\circ$ کے ساتھ، گروہ کہلاتا ہے اگر نیچے دی شرائط پوری ہوں:

• اگر $a \in G$ اور $b \in G$، تو پھر $a \circ b \in G$
• مجموعہ میں ایسا عنصر I ہو کہ تمام $a \in G$ کے لیے

$a \circ I = I \circ a \in G$

عنصر I کو شناخت عنصر کہتے ہیں۔

• ہر عنصر $a \in G$ کے لیے، ایسا عنصر $a^{-1} \in G$ موجود ہو (جسے a کا اُلٹ کہتے ہیں)، کہ

$a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = I$

• مجموعہ G میں عناصر a، b، c، کے لیے مشارکی خصوصیت پوری ہو

$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$

متناظر گروہ (تبدل کامل)

تفصیلی مضمون: تبدل کامل گروہ

اعداد کے مجموعہ $\{1,2,\cdots,n\}$ کے کسی خاص تبدل کامل کو ایک دالہ کے زریعہ لکھا جا سکتا ہے، یعنی

1	2	3	....	n
f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)

مثلاً n=4 کے لیے یہ ہو سکتی ہے

1	2	3	4
4	2	1	3

اگر f(.) اور g(.) کوئ دو دالہ تبدل کامل ہوں اعداد $\{1,2,\cdots,n\}$ پر، تو ان دالہ کی ترکیب $f \circ g(k) = f(g(k))$ بھی ان اعداد کی تبدل کامل ہو گی۔ اسطرح گروہ کا پہلا مسلمہ پورا ہوتا ہے، عناصر f اور g کے لیے۔

شناخت عنصر کے لیے ہم دالہ تعریف کرتے ہیں $I(k)=k \,,\,\, k=1,2,\cdots,n$ ، یعنی:

1	2	3	....	n
1	2	3	....	n

اور یہ دوسرے مسلمہ پر پوری اترتی ہے۔

اگر دالہ f(.) کوئ خاص تبدل کامل تعریف کرتی ہے

1	2	3	....	n
f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)

تو یہ تبدل کامل

f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)
1	2	3	....	n

اس کا اُلٹ ہے، اور اسے $f^{-1}(.)$ کہہ سکتے ہیں،

$f(f^{-1}(k)) = f^{-1}(f(k)) = k$

یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہوتا ہے۔

اگر g، f، اور h ، کوئ تبدل کامل دالہ ہوں، تو چوتھا مسلمہ بھی پورا ہونے کی تصدیق کی جا سکتی ہے

$(f \circ g) \circ h(k) =(f \circ g) ( h(k) ) = f(g(h(k))) = f \circ (g \circ h) (k)$

پس ثابت ہوا کہ مجموعہ $\{1,2,\cdots,n\}$ کے تمام تبدل‌کامل ایک گروہ بناتے ہیں۔ خیال رہے کہ ان تبادل‌کامل کی تعداد $n!$ ہے، یعنی اس گروہ کے عناصر کی تعداد $n!$ ہے۔ اس گروہ کی اہمیت نیچے دیے "متشاکل کیلے مسلئہ اثباتی" کی بدولت ہے۔ اس گروہ کو متناظر گروہ کہا جاتا ہے، اور $S_n$ کی علامت سے لکھا جاتا ہے۔

خوائص

گروہ کے عناصر a، b، کے لیے

• (r دفعہ) $a^{r}= a \circ a \circ \cdots a$
• $a^{r+s}= a^r \circ a^s$
• $\ (a^{r})^s= a^{rs}$
• $(a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}$

مبدلی گروہ

گروہ کو ایبلین (Abelian) یا مبدلی گروہ کہیں گے اگر مبدلی کی خصوصیت موجود ہو:

$a \circ b = b \circ a$

تمام عناصر $a, b \in G$ کے لیے۔

مثال کے طور پر صحیح اعداد کا گروہ، جمع عالج، اور صفر شناخت، کے ساتھ مبدلی ہے۔

تبدل کامل کی دالہ f یوں تعریف کرو

1	2	3	4
	$\downarrow$	f
4	2	1	3

تبدل کامل کی دالہ g یوں تعریف کرو

1	2	3	4
	$\downarrow$	g
3	1	2	4

اب واضح ہے کہ $f \circ g(1)= f(g(1)) = f(3) = 1$ اور $g \circ f(1)= g(f(1)) = g(4) = 4$ اسلیے

$f \circ g \ne g \circ f$

اور تبدل کامل کا گروہ مبدلی نہیں۔

اصطلاح	term
ذیلی گروہ متناہی	subgroup finite

ذیلی گروہ

اگر مجموعہ G کے عناصر عالجہ $\circ$ کے لحاظ سے گروہ بنائیں، اور مجموعہ G کا ذیلی مجموعہ H ہو، اسطرح کہ H کے عناصر بھی عالجہ $\circ$ کے لحاظ سے گروہ بنائیں، تو ہم کہیں گے کہ H ذیلی گروہ ہے گروہ G کا۔ غیرخالی ذیلی مجموعہ H ذیلی‌گروہ ہو گا اگر نیچے دی شرائط پوری ہوں:

• اگر $a \in H$، تو $a^{-1} \in H$
• اگر $a \in H$ اور $b \in H$، تو $a \circ b \in H$

قضیہ

اگر G متناہی گروہ ہو، تو "G کا غیرخالی ذیلی مجموعہ H ذیلی‌گروہ ہو گا، اگر

$a \in H, b \in H \Rightarrow a \circ b \in H$

اصطلاح	term
متشاکل ارتباط واحد الواحد	isomorphic one-to-one correspondence

متشاکل

دو گروہوں G اور H کو متشاکل کہیں گے اگر ان کے عناصر کے درمیان ارتباط واحد الواحد قائم کیا جا سکے اسطرح کہ یہ ارتباط عناصر کے عالجہ سے گزارنے کے بعد بھی قائم رہے۔ اگر $g\in G$ اور $h\in H$، تو ان عناصر کے درمیان ارتباط کو $g\leftrightarrow h$ لکھا جاتا ہے۔ اب اگر $g_1\leftrightarrow h_1$ اور $g_2\leftrightarrow h_2$، تو متشاکل کی شرط ہے کہ

$g_1 \circ g_2\leftrightarrow h_1 \circ h_2$

دوسرے الفاظ میں گروہ G اور H دراصل ایک ہی ہیں، صرف ان کے عناصر کے نام مختلف رکھے ہوئے ہیں۔

مسلئہ اثباتی

ہر متناہی G گروہ متشاکل ہو گا تبدل‌کامل کے کسی ذیلی‌گروہ کے۔

یہ مسلئہ کیلے گروہ متشاکل ملسئہ اثباتی کہلاتا ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ تبدلکامل کا ذیلی‌گروہ کیسا ہو گا، G کے عناصر کا $\{1,2,\cdots,n\}$ نام رکھ دو۔ عنصر k کے ہمشکل تبدلکامل دالہ $f_k$ یوں تعریف کرو

$f_k(i) = k \circ i$

تبدلکامل کا یہ گروہ $\{f_1, f_2,\cdots,f_n\}$ ہو گا، اور $f_{k \,\circ\, j} = f_k \cdot f_j$، یعنی $f_k$ اور $f_j$ کی ترکیب۔

اصطلاح	term
رُتبہ دَوری	order cyclic

رُتبہ اور دَوری گروہ

کسی گروہ میں عناصر کی تعداد کو اس گروہ کا رتبہ کہا جاتا ہے۔ اگر g عنصر ہو گروہ G کا ($g \in G$)، تو $\{g, g^2, g^3, \cdots \}$ گروہ G کا ذیلی گروہ ہو گا۔ اگر r چھوٹا ترین صحیح عدد ہو جس کے لیے $g^r=I$ (جہاں I شناخت عنصر ہے) تو یہ ذیلی‌گروہ $\{g^1, g^2, g^3, \cdots, g^r \}$ ہو گا، اور اس گروہ کو g سے تولید شدہ دوری ذیلی‌گروہ کہا جاتا ہے۔ اس دوری ذیلی‌گروہ میں عناصر کی تعداد r ہے، اور اس گروہ کا رتبہ r ہے۔ چونکہ یہ گروہ عنصر g سے تولید شدہ ہے، اس لیے r کو عنصر g کا رتبہ بھی کہا جاتا ہے۔

خیال رہے کہ اُوپر

$g^2 = g \circ g \,,\, g^3= g \circ g \circ g \,,\cdots$

مثال

مجموعہ $\{1,2,3\}$ کی چھ تبدلکامل ہیں:

f1=I	1, 2, 3
f2	1, 3, 2
f3	2, 1, 3
f4	2, 3, 1
f5	3, 1, 2
f6	3, 2, 1

جو گروہ $\{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6\}$ بناتی ہیں۔ عنصر $f_4$ یہ دوری ذیلی‌گروہ $\{f_4, f_5, f_1\}$ تولید کرتا ہے، اور عنصر $f_4$ کا رتبہ 3 ہے۔

اصطلاح	term
ہم‌مجموعہ بےجوڑ ؟ معمول	coset disjoint identical normal

coset

گروہ G کا ذیلی‌گروہ H ہو۔ G کے کسی عنصر g کے لیے، مجموعہ تعریف کرو

$g \circ H = \{g \circ h \,:\, h \in H\}$

مجموعہ $g \circ H$ کو گروہ G کا ایک بائیں ہممجموعہ کہا جاتا ہے۔ اسی طرح

$H \circ g = \{h \circ g \,:\, h \in H\}$

کو گروہ G کا ایک "دائیں ہممجموعہ" کہا جاتا ہے۔

معمول ذیلی گروہ

گروہ G کے ذیلی‌گروہ H کو معمول ذیلی‌گروہ کہا جائے گا اگر کسی بھی $g \in G$ کے لیے

$H \circ g = g \circ H$

قضیہ

اگر متناہی گروہ G کا ذیلی‌گروہ H ہو، تو تمام $g \in G$ کے لیے

$|g \circ H| = |H|$

جہاں علامت $|S|$ سے مراد مجموعہ S میں عناصر کی تعداد ہے۔

قضیہ

اگر متناہی گروہ G کا ذیلی‌گروہ H ہو، تو ہممجموعہ $g_1 \circ H$ اور ہممجموعہ $g_2 \circ H$ یا تو برابر (identical) ہیں یا بےجوڑ ہیں۔

مسلئہ اثباتی

اگر متناہی گروہ G کا ذیلی‌گروہ H ہو، تو صحیح عدد $|G|$ کو صحیح عدد $|H|$ (پورا) تقسیم کرتا ہے۔ یعنی ذیلی‌گروہ H کا مرتبہ تقسیم کرتا ہے گروہ G کے مرتبہ کو۔ اسے لاگرانج مسلئہ اثباتی کہتے ہیں۔

• اگر G متناہی گروہ ہو جس کا مرتبہ n ہو، تو اس گروہ کے کسی بھی عنصر $g\in G$ کے لیے $g^n = I$
• اگر G متناہی گروہ ہو جس کا مرتبہ n ہو، اور n مفرد عدد ہو، تو گروہ G دَوری ہو گا، اور نتیجتاً مبدلی۔

اور دیکھو

• میدان

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات