دالہ مصفوفہ

یہاں ہم ایسی دالہ کا بیان کریں گے، جس دالہ کا میدان عمل مختلط میدان $\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n$ پر مربع میٹرکس ہو، اور حیطہ بھی $\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n$ پر مربع میٹرکس ہو۔

ایک مختلط متغیر $\ z$ کی تحلیلی (analytic) دالہ $\ f(z)$، $\ z$ کے گرد ٹیلر سلسلہ (Taylor series) کے زریعہ لکھی جا سکتی ہے:

$f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k \,,\,\, z \in \mathbb{C}$

اوپر کی سیریز کی تقل کرتے ہوئے ایک مربع میٹرکس A کے لیے یہی فنکشن یوں لکھا جا سکتا ہے

$f(A) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k A^k \,,\,\, A \in \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n$

اب ہم اس میٹرکس دالہ کو میٹرکس کی ویژہ قیمت کی مدد سے نکالنے کا ایک آسان طریقہ بتاتے ہیں۔

جیسا کہ یہاں بیان ہؤا کہ اگر ایک $n \times n$ مربع میٹرکس A کی تمام ویژہ قیمتیں (اصل یا مختلط عدد) $\ \lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_{n-1}$ منفرد ہوں، تو ایسی "ویژہ سمتیہ" پر مشتمل میٹرکس $\ U$ نکالی جا سکتی ہے، جس کی مدد سے میٹرکس $\ A$ کو ویژہ وتر میٹرکس کے ساتھ رشتہ اس مساوات سے بیان کیا جا سکتا ہے:

$A = U \left[\begin{matrix} \lambda_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} \end{matrix}\right] U^{-1}$

اب

$f(A) = U \left[\begin{matrix} f(\lambda_0) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & f(\lambda_1) & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & f(\lambda_{n-1}) \end{matrix}\right] U^{-1}$

اوپر دیے طریقہ سے میٹرکس کی پڑھائی میں ویژہ قیمت کی اہمیت کا اندازہ ہوتا ہے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ مربع میٹرکس $\ f(A)$ کے ویزہ سمتیہ وہی ہیں جو کہ مربع میٹرکس $\ A$ کے ویزہ سمتیہ ہیں۔ اور اگر میٹرکس $\ A$ کی ویژہ قیمت $\ \lambda$ ہے تو میٹرکس $\ f(A)$ کی ویژہ قیمت $\ f(\lambda)$ ہے۔

مثال

• میٹرکس اَسّی دالہ

$A = \left[ \begin{matrix} 3 & 4\\ 4 & 3 \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 7 & 0\\ 0 & -1 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{matrix}\right]^{-1}$

$\exp(A) = \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} \exp(7) & 0\\ 0 & \exp(-1) \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{matrix}\right]^{-1} = \left[ \begin{matrix} 548.50 & 548.13\\ 548.13 & 548.50 \end{matrix}\right]$

• میٹرکس اُلٹ

$A^{-1} = \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 1/7 & 0\\ 0 & 1/-1 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{matrix}\right]^{-1} = \left[ \begin{matrix} -0.429 & 0.571\\ 0.571 & -0.429 \end{matrix}\right]$

اور دیکھو

• "کیلے ہمیلٹن" مسئلہ اثباتی
• سائیلیب help expm, cosm, sinm, spec

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات