نظریۂ عدد

اصطلاح	term
اعداد صحیح اعداد اولی عدد حساب حسابی ہندسہ دالہ بیصوی منحنی تقسیمی عاد اعظم صحیح اعدادی تجزی کامل اعداد مطابقت ضربی دالہ صحیح عدد متوالیہ عاملیہ حسابان مختلط تحلیل اولیٰ عدد قضیہ ناطق جزر ثابت قضیہ تالیفیات قرینہ مرغولہ	Number Integer Prime Number Arithmetic Arithmetic Geometry Function Elliptic Curves Divisibility Greatest Common Divisor Integer Factorization Perfect Number Modular Arithmetic Multiplicative Function Integer Sequence Factorial Calculus Complex Analysis Prime Number Theorem Rational Roots of a Functions Thabit Number Combinatorics Pattern Spiral

نظریہ اعداد شاخ ہے خالص ریاضیات کی جو عاماً اعداد کے خاصوں سے متعلق ہے، اور خاصاً صحیح اعداد (Integers) کے، اور ان کے مطالعہ میں پیدا ہونے والے مسائل کی وسیع تر جماعتوں سے۔ نظریہ اعداد کو ذیلی میدانوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے، استعمال ہونے والے طرائق کے مطابق اور تشویش کروہ سوالوں کی قسم کے لحاظ سے۔

جب قدرتی اعداد کو مرغولہ (Spiral) میں سجایا جاتا ہے اور اولی عدد (Prime Number) کو تاکید دیتے ہوئے، تو ایک دساس قرینہ (Pattern) مشاہد ہوتا ہے، جسے عالم مرغولہ (Ulam spiral) کہتے ہیں۔

اصطلاحات حساب یا "حسابِ اعلٰی" کے اسم بھی نظریہ عدد کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ یہ قدرے پرانی اصطلاحات ہیں اور اب اتنی معروف نہیں جتنی کبھی پہلے تھیں۔ البتہ لفظ "حساب" بطور اسم صفت معروف ہے بجائے کہ زیادہ بوجھل فقرہ "عدد-نظریاتی"، اور "کا حساب" بھی بجائے کہ " کا عدد نظریہ "، مثل حسابی ہندسہ (Arithmetic Geometry) حسابی دالہ (Function)، بیصوی منحنی کا حساب (Elliptic Curves Arithmetic)۔

میدان

• ابتدائی نظریہ عدد میں صحیح اعداد مطالعہ کیے جاتے ہیں بغیر دوسرے ریاضیاتی میدانوں کی تکانیک استعمال کرتے ہوئے۔ تقسیمی (Divisibility) کے سوال، اقلدیسی الخوارزم کے استعمال سے عاد اعظم (Greatest Common Divisor) کا ڈھونڈنا، صحیح اعدادی تجزی (Integer Factorization) اولی اعداد میں، کامل اعداد (Perfect Number) کی تشویش، اور مطابقت (Modular Arithmetic) یہاں حق رکھتے ہیں۔ اس میدان کی کئی اہم دریافتوں میں شامل ہیں فرمیے کا چھوٹا قضیہ، عائلر قضیہ، چینی تقسیم باقی قضیہ، اور چکوری متکافیت (Quadratic Reciprocity) کا قضیہ۔ ضربی دالہ (Multiplicative Function) جیسا کہ موبیس دالہ (Möbius Function) اور عائلر φ دالہ (Euler's phi Function) کے خاصے، صحیح عدد متوالیہ (Integer Sequence)، عاملیہ (Factorial)، اور فبوناچی اعداد (Fibonacci Numbers) بھی اس علاقے میں آتے ہیں۔

• تحلیلی نظریۂ عدد (Analytic Number Theory) میں حسابان (Calculus) اور مختلط تحلیل (Complex Analysis) کے آلات کو بروئے کار لایا جاتا ہے صحیح عدد بارے سوالات کو اڑنگا لگانے کے لیے۔ اولیٰ عدد قضیہ (Prime Number Theorem) اور رحمان مفروضہ (Riemann Hypothesis) اس کی امثال ہیں۔

• الجبرائی نظریہ عدد میں عدد کے تصور کو الجبرائی اعداد (Algebraci Number) تک پھیلا دیا جاتا ہے۔ الجبرائی عدد ایسے عدد ہوتے ہیں جو ناطق (Rational) عددی سر والے کثیر رقمیوں کے جزر ہوں۔

• شمارندی نظریہ عدد (Computational Number Theory) میں نظریہ عدد سے متعلقہ الخوارام کا مطالعہ کیا جاتا ہے۔ اولی اختباری (Prime testing) اور صحیح عدد تجزی (Integer Factorization) کے تیز الخوارزم اخفا و اشفا (Cryptography) میں انتہائی اہمیت کے حامل ہیں۔

تاریخ

یونانی نظریہ عدد

اعداد کا مطالعہ یونانی ریاضیدانوں کا محبوب مشغلہ تھا۔ قدیم مصریوں سے ڈایوفینٹین مساوات کا علم یونانیوں کو ملا، جس کا نام یونانی ڈیوفانٹس (Diophantus) پر اب جانا جاتا ہے۔

برصغیری نظریہ عدد

قدیم برصغیر میں ڈیوفنٹین مساوات کو وسیع مطالعہ ریاضیدانوں نے کیا۔ آریابھاٹا (499ء) نے لکیری ڈیوفنٹین مساوات جس کی ہئیت $ay + bx = c$ ہو کا جامع حل پیش کیا۔

اسلامی نظریہ عدد

عرب ریاضیدانوں نے 9ویں صدی سے نظریہ عدد میں گہری دلچسپی لینی شروع کی۔ ان ریاضیدانوں میں سے پہلا ثابت بن قرة تھا جس نے ایسا الخوارزم دریافت کیا جس سے محبانہ اعداد (Amicable Number) کے جوڑے ڈھونڈے جا سکتے تھے، یعنی ایسے اعداد کہ ہر عدد کے صالح قاسموں کی جمع دوسرے عدد کے برابر ہو۔ دسویں صدی میں ابن طاہر البغدادی نے ثابت بن قرہ کے مسئلہ کے تھوڑے انحرافی پر نظر ڈالی۔

10ویں صدی میں الھیثم نے تمام جفت کامل اعداد (Perfect Number) (اعداد جو اپنے صالح قاسموں کی حاصل جمع ہوں) کی جماعت بندی کی جن کی ہئیت $\ 2^{k-1}(2^k - 1)$ ہوتی ہے، جہاں $2^k - 1$ اولی عدد ہے۔ الھیثم نے یہ قضیہ بھی دیا کہ اگر p اولی عدد ہو تو عدد $1+(p-1)!$ تقسیم ہوتا ہے p سے (اس قضیہ کو بعد میں یورپی عالموں نے اپنے ولسن کے نام سے منسوب کر دیا، اس قضیہ کا ثبوت 1771 میں لاگرینج نے دیا)۔

13ویں صدی میں فارس ریاضیدان الفارسی نے ثابت قضیہ (Thabit Number) کا نیا ثبوت پیش کیا، جس میں اس نے تجزی اور تالیفیات (Combinatorics) کے اہم نئے طرائق متعارف کرائے۔ اس کے علاوہ اس نے محبانہ اعداد جوڑا 17296, 18416 بتایا جو غلطی سے عائلر کو منسوب کیا جاتا ہے (غالبا ثابت کو بھی یہ جوڑا معلوم تھا)۔ محمد باقر یازدی نے محبانہ جوڑا 9,363,584 اور 9,437,056 دیا۔

اور دیکھو

• عدد
• صحیح عدد
• مفرد عدد
• چینی تقسیم باقی مسئلہ اثباتی
• ذواضعاف اقل
• عاد اعظم
• مطابقت
• مکسما، شمارندی الجبرا نظام