Orthogonality principle

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term
مسقط
تقرب

Projection
Approximation


Projection2 dxy.png

مسقط مسئلہ اثباتی[ترمیم]

اگر X کسی اندرونی حاصل ضرب فضا D کی لکیری ذیلی فضا ہو، تو D کے کسی بھی سمتیہ d کو صرف ایک منفرد صورت میں یوں لکھا جا سکتا ہے:

\ d = y + e

جبکہ سمتیہ y "ذیلی فضا" X میں ہو، اور سمتیہ e "ذیلی فضا" X کے قائم الزاویہ ہو۔ اب سمتیہ y کو سمتیہ d کا مسقط کہا جاتا ہے۔

تصویر میں \mathbb{R}^3 فضا میں سمتیہ d دکھایا گیا ہے۔ اس سمتیہ کا مسقط سمتیہ y ہے، جو کہ فضا \mathbb{R}^2 میں ہے۔ سمتیہ y لکیری جوڑ ہے، بنیاد سمتیہ x_1 اور x_2 کا:

y = h_1 x_1 + h_2 x_2

جہاں h_1 اور h_2 عددی سر دائم ہیں۔

غور کرو کہ سمتیہ y اور سمتیہ e ایک دوسرے سے نوے درجہ کے زاویہ (قائم الزاویہ) پر ہیں۔ دراصل سمتیہ e اور مستوی x_1 x_2 آپس میں قائم الزاویہ ہیں (یعنی سمتیہ e ، مستوی x_1 x_2 میں کسی بھی سمتیہ سے نوے درجہ کا زاویہ بناتا ہے) ۔ سمتیہ e کو اکثر غلطی سمتیہ کہا جاتا ہے۔

مسلئہ اثباتی (بہترین تقرب)[ترمیم]

اگر X کسی "اندرونی حاصل ضرب فضا" D کی لکیری ذیلی فضا ہو، تو D کے کسی بھی سمتیہ d کا ذیلی فضا X میں مسقط y=\hbox{proj}_Xd ، سمتیہ d کا بہترین تقرب ہے، اس معنی میں کہ

 \|d - y \| < \|d-x\|

جہاں x ذیلی فضا X کا کوئ بھی دوسرا سمتیہ ہے۔

یعنی مسقط کے غلطی سمتیہ  e=\|d - y \| کا امثولہ (لمبائی) سب سے کم ہو گا- یہ ہم پہلے ہی دیکھ چکے ہیں کہ یہ غلطی سمتیہ e قائم الزاویہ ہوتا ہے ذیلی فضا X کے (یعنی X میں تمام سمتیوں کے)۔ دوسرے الفاظ میں e اور X کے کسی بھی سمتیہ کا 'اندرونی حاصل ضرب' صفر ہو گا:

\langle e, x_1 \rangle =0 \,,\, \langle e, x_2 \rangle =0 \,,\, \langle e, y \rangle =0

یہ قائم الزاویہ قاعدہ کہلاتا ہے۔

تصادفی[ترمیم]

دو تصادفی متغیر X اور Y کے درمیاں 'اندرونی حاصل ضرب' بذریعہ متوقع عالج E(.) کے تعریف کی جا سکتی ہے

\langle X, Y \rangle = E[XY] = \int xy f_{X,Y}(x,y) dx dy

جہاں \ f_{XY}(x,y) تصادفی متغیر X اور Y کی ساجھی احتمال کثافت دالہ ہے۔ تصادفی متغیر X کا امثولہ یوں ہو گا

\|x\|^2=\langle X, X \rangle = E[X^2] = \int x^2 f_X(x) dx
تصویر 1۔ مصفاہ H(z)=\sum_{k=0}^K h_kz^{-k}

تخمینہ[ترمیم]

"عملیت اشارہ" میں شوری معطیات سے کسی مطلوبہ اشارہ کے تخمینہ لگانے کی ضرورت پڑتی ہے۔ تصویر 1 میں اشارہ متوالیہ x_n کسی صورت میں اشارہ متوالیہ d_n سے متعلق ہے۔ ہم اشارہ متوالیہ x_n کو مصفاہ H سے گزار کر اشارہ y_n حاصل کرتے ہیں۔ ہمارا مقصد یہ ہے کہ متوالیہ y_n تخمینہ ہو متوالیہ d_n کا۔ یعنی مصفاہ H اس طرح چنا جائے کہ متوالیہ d_n اور متوالیہ y_n کے درمیان غلطی متوالیہ e_n=d_n-y_n کا اوسط مربع کم سے کم ہو:

\min_{H} E[e^2_n]

تخمینہ y_n کو عموماً y_n=\hat{d}_n لکھا جاتا ہے۔ تمام متوالیہ تصادفی ہیں، اور اوسط سے مراد متوقع قدر ہے۔ اس کے علاوہ متوالیہ تصادفی ساکن ہیں۔ مصفاہ H ایک متناہی متوالیہ h_0, h_1, \cdots, h_{K-1} سے بنا ہے۔ مصفاہ کے اخراج y_n اور ادخال x_n کے درمیان تلفیف کا رشتہ ہے:


y_n =x_n h_0  + x_{n-1}  h_1 + \cdots + x_{n-(K-1)}  h_{K-1}

جو لکیری تولیف کی صورت ہے۔ غلطی کے امثولہ \|e_n\|^2=E[e_n^2] کی تصغیر کے لیے ضروری ہے کہ غلطی e_n قائم الزاویہ ہو معطیات x_n کے، یعنی

\langle x_k, e_n \rangle = E[x_k e_n]=0\,,\, k=n,n-1,n-(K-1)

یہ قائم الزاویہ قاعدہ کہلاتا ہے۔ اس مسئلہ میں اس قاعدہ تک ہم حسابان کی مدد سے بھی پہنچ سکتے ہیں۔ ہمارا مقصد ایسے h_k ڈھونڈنا ہے جو اس قیمت دالہ

\zeta = E[e_n^2]

کی تصغیر کرے۔ اس لیے ہم \zeta کا h_k کے حوالے سے مشتق نکالتے ہیں اور اسے صفر کے برابر ٹھیراتے ہیں:

\frac{\partial}{\partial h_k}\zeta = 0

اب

\frac{\partial}{\partial h_k}\zeta = \frac{\partial}{\partial h_k}E[e_n^2]
=E[\frac{\partial e_n^2}{\partial h_k}] = E[2 e_n \frac{\partial e_n}{\partial h_k} ]
=E[2 e_n \frac{\partial (d_n-y_n)}{\partial h_k}] = -2 E[e_n \frac{\partial y_n}{\partial h_k}]

چونکہ d_n منحصر نہیں h_k پر۔ اب x_n کے لکیری تولیف سے y_n بنا ہے، اس لیے


E[e_n \frac{\partial y_n}{\partial h_k}] = E[e_n x_{n-(k-1)}]

جس سے "قائم الزاویہ قاعدہ" حاصل ہوتا ہے:


E[e_n x_{n-(k-1)}] = 0 \,,\, k=0,1,\cdots, K-1


اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات