اعتماد وقفہ

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

اعتماد وقفہ
نکتہ تخمینہ

confidence interval
point estimate

کسی تصادفی تجربہ کے زریعے کسی تصادفی متغیر کی اوسط بطور نکتہ تخمینہ نکالنے کے بجائے ایک وقفہ بتایا جا سکتا ہے جس میں تخمینہ کے ہونے کا قوّی احتمال ہو۔ اس کے علاوہ تخمینہ کے وقفہ کے اندر ہونے پر اعتماد بھی فیصد عدد کے طور پر بتایا جاتا ہے۔ مثلاً کہا جائے کہ "جماعت الف کی عوام میں حمایت کا تخمینہ (13,16) فیصد کے وقفہ میں ہے، اور اس تخمینہ پر ہمارا اعتماد 95 فیصد ہے،" یا احتمال نظریہ کی زبان میں کہیں گے کہ "جماعت الف کی حمایت کا 95% اعتماد وقفہ (13%, 16%) ہے۔"

تصادفی متغیر X جس کا (اصل مگر نامعلوم) اوسط \mu ہے، کے اوسط کا تجرباتی تخمینہ لگانے کے لیے تجربہ N بار دہرا کر مشاہدات کا اوسط نکالا جاتا ہے۔ ان مشاہدات X_1, X_2, \cdots, X_N کا حسابی اوسط

\bar{X} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i

نمونہ اوسط کہلاتا ہے۔ مشاہدات X_1, X_2, \cdots, X_N کو آزاد اور ایک جیسے توزیع شدہ تصادفی متغیر سمجھا جاتا ہے، جن (میں سے ہر ایک) کا اوسط \mu ہے، اور معیاری انحراف \sigma۔ اس لیے "نمونہ اوسط" \bar{X} بھی ایک تصادفی متغیر ہو گا جس کا اوسط E(\bar{X}) = \mu اور معیاری انحراف \sqrt{\hbox{Var}(\bar{X})} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}} ہو گا۔

x_C  C
1.960 0.95
2.324 0.99
تصویر 1۔

تعریف: عدد x_C یوں تعریف کرو کہ معیاری معمول توزیع احتمال دالہ \ \phi(.) کے نیچے وقفہ \ (-x_C, x_C) میں رقبہ C ہو (تصویر 1)، یعنی کسی معیاری معمول توزیع شدہ تصادفی متغیر X کا وقفہ \ (-x_C, x_C) میں ہونے کا احتمال C ہے:

 \Pr( -x_C \le X \le x_C) = \int_{-x_C}^{x_C} \phi(x) dx = C

مرکزی حد مسلئہ اثباتی کی رو سے ہم کہہ سکتے ہیں کہ تصادفی متغیر،

\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{N}}

(بڑے N کے لیے) تقریباً معمول توزیع شدہ ہو گا۔ اسلیے

 \Pr\left( -x_C \le \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{N}} \le x_C\right)  \approx C

جسے یوں بھی لکھ سکتے ہیں

 \Pr\left( \bar{X}-x_C \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \le \mu \le \bar{X} + x_C \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \right)  \approx C

یعنی اصل اوسط \mu کا وقفہ \left( \bar{X}-w_C , \bar{X} + w_C  \right) میں پڑنے کا احتمال C ہے، جہاں ہم نے تعریف کیا w_C = x_C \frac{\sigma}{\sqrt{N}} ہے۔ اب چونکہ \sigma^2 بھی نامعلوم ہوتا ہے، اس لیے اس کا بھی مشاہدات کی مدد سے تخمینہ S^2 یوں لگاتے ہیں

S^2= \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} \left( X_k-\bar{X}\right)^2

اب S کو \sigma کی جگہ w_C کی تعریف میں استعمال کیا جا سکتا ہے، w_C = x_C \frac{S}{\sqrt{N}}

خلاصہ یہ کہ بڑے N کے لیے، تصادفی متغیر X کےنامعلوم اوسط \ \mu=E(X) کا (قریباً) C \times 100 % اعتماد وقفہ ہے \bar{X} \pm w_C

اعتماد کی تفسیر[ترمیم]

فرض کرو کہ آپ نے کسی نامعلوم قدر \mu کا 95% اعتماد وقفہ تجربے سے \ (a,b) معلوم کیا۔ اب یا تو نامعلوم قدر \mu اس وقفے میں ہو گی یا پھر نہیں۔ سوال پیدا ہوتا ہے کہ 95 فیصد اعتماد سے کیا مراد ہے؟ اس کو یوں سمجھا جا سکتا ہے کہ تجربہ سے پہلے اس بات کا احتمال 0.95 ہے کہ تجربہ سے معلوم ہونے والے وقفہ میں نامعلوم قدر پڑے گی۔ یا تجربے کے بعد ہمارا اس امر میں اعتماد 95 فیصد ہے کہ نامعلوم قدر اس وقفہ میں ہے۔ یا پھر یوں کہیں کہ اگر ہم بہت بار تجربات کر کے متعدد 95% اعتماد وقفے معلوم کریں، تو ان میں سے 95 فیصد وقفے ایسے ہونگے کہ جن میں نامعلوم قدر پڑتی ہو گی۔

NYW-confidence-interval.png

تصویر میں وقفے نکالنے کا عمل پچاس مرتبہ دہرایا گیا ہے۔ دیکھو کہ \mu کچھ وقفوں کے درمیان نہیں پڑتا۔

اور دیکھو[ترمیم]


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات