تبدیلی از بنیاد سمتیہ

اگر ایک سمتیہ فضا کا ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ$\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ b کی بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ کے حوالے سے صورت c ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ کے حوالے سے اسی سمتیہ b کی صورت d ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک میٹرکس کے ذریعہ ہو گی:
$\ c=Pd$
میٹرکس P کو نکالنے کا طریقہ یہ ہے کہ نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ کے ہر سمتیہ کی صورت پرانے بنیاد سمتیہ $\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ کے حوالے سے نکالو۔ ان صورتوں کے عددی سر اس میٹرکس P کے ستون ہونگے۔

میڑکس P کو u سے v جانے والی منتقلہ میٹرکس (transition) کہتے ہیں۔

مثال

$\mathbb {R} ^{2}$ میں نکتہ (4,2) قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ $e_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right],\,e_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]$ کے حوالے سے صورت بھی یہی ہے، یعنی: $4e_{0}+2e_{1}$

اب فرض کرو کہ نیا بنیاد سمتیہ مجموعہ یہ ہے: $u_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\,u_{1}=\left[{\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}}\right]$
ان نئے سمتیوں کو پرانے کے حوالے سے لکھنے سے ان کی پرانوں کے حوالے صورت نکل آئے گی $u_{0}=1e_{0}+1e_{1},\,\,u_{0}=-4e_{0}+4e_{1}$
جس کے عددی سر پڑھ کر ہم میٹرکس P کے ستون لکھ لیتے ہیں: $P=\left[{\begin{matrix}1&-4\\1&4\end{matrix}}\right]$
اب نکتہ (4,2) کی نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت یوں نکالتے ہیں (دیکھو میٹرکس کا الٹ استعمال ہؤا ہے) $d=P^{-1}c=\left[{\begin{matrix}1&-4\\1&4\end{matrix}}\right]^{-1}\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1/2&1/2\\-1/8&1/8\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}3\\-1/4\end{matrix}}\right]$
یعنی $3u_{0}-(1/4)u_{1}$

مسلئہ اثباتی

اگر کسی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ u سے بنیاد سمتیہ مجموعہ v جانے والی منتقلہ میٹرکس P ہو، تو

• میٹرکس کا اُلٹ، یعنی $P^{-1}$ ممکن ہے
• v سے u جانے والی منتقلہ میٹرکس $P^{-1}$ ہے۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات