معیاری انحراف

اصطلاح	term
معیاری انحراف اقدار توزیع دالہ کمیت دو رقمی متوقع قدر تَفاوُت	standard deviation values distribution function mass binomial expected value variance

تصادفی متغیر (یا اس کی توزیعِ احتمال) کا اپنی متوقع قدر (اوسط) سے ممکنہ انحراف کی مقدار کو ناپنے کے لیے، تصادفی متغیر کا "معیاری انحراف" استعمال ہوتا ہے۔ اسے عموماً $\sigma$ کی علامت سے لکھا جاتا ہے اور یہ تفاوت کا مربع جزر ہوتا ہے۔

تصادفی متغیر کا "معیاری انحراف" $\sigma$ ناپ ہے تصادفی متغیر کی اقدار (نیلا رنگ میں) کا اپنے اوسط $\mu$ کے گرد پھیلاؤ کا۔

اگر تصادفی متغیر X کی متوقع قدر کو

$\ \mu =E(X)$

لکھا جائے، تو X کا "معیاری انحراف" $\sigma$ یوں تعریف کیا جاتا ہے

$\ \sigma ={\sqrt {E\left((X-\mu )^{2}\right)}}$

یعنی $\sigma ^{2}$ ہے تصادفی متغیر X کی اوسط $\mu$ سے دوری $x-\mu$ کے مربع $\ (x-\mu )^{2}$ کی اوسط ۔ واپس X کی اکائی میں آنے کے لیے ہم $\sigma ^{2}$ کا مربع جزر لے کر معیاری انحراف $\sigma$ حاصل کرتے ہیں۔

غور کرو کہ تفاوت $\sigma ^{2}$ کو یوں لکھ سکتے ہیں

$\ \sigma ^{2}=E\left((X-\mu )^{2}\right)=E(X^{2})-\mu ^{2}$

جہاں متفرد تصادفی متغیر کے لیے $\ E(X^{2})=\sum _{i}x_{i}^{2}p_{X}(x_{i})$ غور کرو کہ $\ E(X^{2})$ متغیر $\ x^{2}$کی وزن شدہ اوسط ہے، جہاں وزن تصادفی متغیر X کی احتمال کمیت دالہ $\ p_{X}(.)$ سے کیا گیا ہے۔ متفرد تصادفی متغیر X کی "احتمال کمیت دالہ" $\ p_{X}(x)$ اس متغیر کی قدر x ہونے کے احتمال کو کہتے ہیں، اور یوں تعریف کرتے ہیں:

$\ p_{X}(x_{i})=\Pr(X=x_{i})$

تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت دالہ $\ p_{X}(.)$

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کا تفاوت

$\ \sigma ^{2}=np(1-p)$

تصویر 2 میں سرخ خطِ منحنی کے مطابق تَفاوُت $\ \sigma ^{2}=np(1-p)=40\times 0.5\times (1-.5)=10$ اور معیاری انحراف $\ \sigma =10^{\frac {1}{2}}\approx 3.16$

اور دیکھو

• متوقع قدر
• تفاوت
• کثیر اعداد کا قانون

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات