تبدیلی از بنیاد سمتیہ

اگر ایک سمتیہ فضا کا ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ$\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ b کی بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ کے حوالے سے صورت c ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ کے حوالے سے اسی سمتیہ b کی صورت d ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک میٹرکس کے زریعہ ہو گی:
$\ c=Pd$
میٹرکس P کو نکالنے کا طریقہ یہ ہے کہ نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ کے ہر سمتیہ کی صورت پرانے بنیاد سمتیہ $\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ کے حوالے سے نکالو۔ ان صورتوں کے عددی سر اس میٹرکس P کے ستون ہونگے۔

مثال

میں نکتہ (4,2) قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت ہے۔ $\mathbb {R} ^{2}$ $e_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right],\,e_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]$

$4e_{0}+2e_{1}$

$u_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\,u_{1}=\left[{\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}}\right]$

$u_{0}=1e_{0}+(1/4)e_{1},\,\,u_{0}=-2e_{0}+4e_{1}$

$P=\left[{\begin{matrix}1&-2\\1/4&4\end{matrix}}\right]$

$d=P^{-1}c=\left[{\begin{matrix}1&-2\\1/4&4\end{matrix}}\right]^{-1}\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&-2\\1/4&4\end{matrix}}\right]^{-1}\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]$

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات