دالہ مصفوفہ

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش

یہاں ہم ایسی دالہ کا بیان کریں گے، جس فنکشن کا میدان عمل مختلط میدان \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n پر مربع میٹرکس ہو، اور حیطہ بھی \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n پر مربع میٹرکس ہو۔

ایک مختلط متغیر \ z کی تحلیلی (analytic) فنکشن \ f(z) ، \ z کے گرد ٹیلر سلسلہ (Taylor series) کے ذریعہ لکھی جا سکتی ہے:

f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k \,,\,\, z \in \mathbb{C}

اوپر کی سیریز کی تقل کرتے ہوئے ایک مربع میٹرکس A کے لیے یہی فنکشن یوں لکھا جا سکتا ہے

f(A) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k A^k \,,\,\,
A \in \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n

اب ہم اس میٹرکس فنکشن کو میٹرکس کی ویژہ قیمت کی مدد سے نکالنے کا ایک آسان طریقہ بتاتے ہیں۔

جیسا کہ یہاں بیان ہؤا کہ اگر ایک  n \times n مربع میٹرکس A کی تمام ویژہ قیمتیں (اصل یا مختلط عدد) \ \lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_{n-1} منفرد ہوں، تو ایسی "ویژہ سمتیہ" پر مشتمل میٹرکس \ U نکالی جا سکتی ہے، جس کی مدد سے میٹرکس \ A کو ویژہ وتر میٹرکس کے ساتھ رشتہ اس مساوات سے بیان کیا جا سکتا ہے:

 A = U \left[\begin{matrix} 
\lambda_0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_1 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1}
\end{matrix}\right] U^{-1}

اب

 f(A) = U \left[\begin{matrix} 
f(\lambda_0) & 0 & \cdots & 0 \\
0 & f(\lambda_1) & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & f(\lambda_{n-1})
\end{matrix}\right] U^{-1}

اوپر دیے طریقہ سے میٹرکس کی پڑھائی میں ویژہ قیمت کی اہمیت کا اندازہ ہوتا ہے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ مربع میٹرکس \ f(A) کے ویزہ سمتیہ وہی ہیں جو کہ مربع میٹرکس \ A کے ویزہ سمتیہ ہیں۔ اور اگر میٹرکس \ A کی ویژہ قیمت \ \lambda ہے تو میٹرکس \ f(A) کی ویژہ قیمت \ f(\lambda) ہے۔

مثال[ترمیم]

 A = 
\left[ \begin{matrix}
3 & 4\\
4 & 3
\end{matrix}\right] 
=
\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
7 & 0\\
0 & -1
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right]^{-1}

 \exp(A) = 
\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
\exp(7) & 0\\
0 & \exp(-1)
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right]^{-1} 
=
\left[ \begin{matrix}
548.50 & 548.13\\
548.13 & 548.50
\end{matrix}\right]

 A^{-1} = 
\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
1/7 & 0\\
0 & 1/-1
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right]^{-1} 
=
\left[ \begin{matrix}
-0.429 & 0.571\\
0.571 & -0.429
\end{matrix}\right]

اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات