دو رقمی مسئلہ اثباتی

اصطلاح	term
دو رقمی عددی سر	binomial coefficient

دو رقمی مسلئہ اثباتی، دو رقمی $\ a+b$ کی طاقت $\ (a+b)^{n}$ ، جہاں n غیر منفی صحیح عدد ہے، کے پھیلاؤ کا کلیہ دیتا ہے

(a+b)^{n}={\binom {n}{0}}a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+\cdots +{\binom {n}{r}}a^{n-r}b^{r}+\cdots +{\binom {n}{n}}b^{n}

جہاں

{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r!\,(n-r)!}}

اور ! کی علامت عاملیہ کو ظاہر کرتی ہے۔ اس پھیلاؤ کو $\sum$ کی علامت استعمال کرتے ہوئے یوں لکھ سکتے ہیں

(a+b)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}a^{n-r}b^{r}

${\tbinom {n}{r}}a^{n-r}b^{r}$ کو دو رقمی مسلئہ اثباتی کی عام رقم کہتے ہیں۔

n کی کچھ قدروں کے لیے پھیلاؤ جدول میں دیا ہے۔ غور کرو کہ $a^{n-r}b^{r}$ کے عددی سر خیام تکون سے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔

خیام تکون
n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

n=0	$(a+b)^{0}=1$
n=1	$(a+b)^{1}=a+b$
n=2	$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
n=3	$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
n=4	$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$
n=5	$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$
n=6	$(a+b)^{6}=a^{6}+6a^{5}b+15a^{4}b^{2}+20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}+6ab^{5}+b^{6}$

ثبوت[ترمیم]

n دو رقمی $\ (a+b)$ کو آپس میں ضرب دینے سے $\ (a+b)^{n}$ حاصل ہوتا ہے

\ (a+b)^{n}=(a+b)(a+b)\cdots (a+b)

پھیلاؤ کی کسی رقم کے لیے ہم ہر دو رقمی سے ہم یا a یا b چنتے ہیں۔ اگر ہم صفر b چنیں تو ایسا کرنے کے ${\tbinom {n}{0}}=1$ راستے ہیں (دیکھو تولیف) اور یہ $a^{n}b^{0}$ کا عددی سر بنتا ہے۔ اگر r دفعہ b چنیں تو ایسا کرنے کے ${\tbinom {n}{r}}$ راستے ہیں اور یہ $a^{n-r}b^{r}{}$ کا عددی سر بنتا ہے۔