سمتیہ حسابان

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

عددیہ
سمتیہ
جِرم
گھنگر
قاطع
ماخذ
سنڈاس؟

scalar
vector
object
curl
cross
source
sink


سمتیہ حسابان (یا سمتیہ تحلیل) (انگریزی: Vector calculus) شاخ ہے ریاضیات کا جو سمتیہ میدانوں میں تفریق اور تکامل سے معاملہ کرتا ہے، خاص طور پر سہ العباد اقلدیسی فضا \mathbf{R}^3. میں۔ سمتیہ حسابان اہم کردار ادا کرتا ہے تفریقی ہندسہ میں اور جزوی تفریقی مساوات کے مطالعہ میں۔ یہ طبیعیات اور ہندسیہ میں کثرت سے استعمال ہوتا ہے، خاص طور سے برقناطیسیت میدانوں، کشش ثقل میدانوں، اور سیالی روان کے بیان میں۔

Topics in Calculus

Fundamental theorem
Limits of functions
Continuity
Mean value theorem

Vector calculus 

Gradient
Divergence
Curl
Laplacian
Gradient theorem
Green's theorem
Stokes' theorem
Divergence theorem

اساسی جِرم[ترمیم]

سمتیہ حسابان میں اساسی جِرم عددیہ میدان (عددیہ-قدر دالہ) اور سمتیہ میدان (سمتیہ-قدر دالہ) ہیں۔ ان کی تولیف یا استحال مختلف عالجہ کے تحت کیا جاتا ہے، یا تکامل کیا جاتا ہے۔ زیادہ اعلی مطالعہ میں، کازب سمتیہ اور کازب عددیہ امتیاز کیے جاتے ہیں، جو سمتیہ میدان اور عددیہ میدان کے مماثل ہیں سوائے یہ کہ رُخ بندی اُلٹانے کی دالہ کے تحت یہ اشارہ (+، -) بدلتے ہیں: مثلاً سمتیہ میدان کا گھنگر کازب میدان ہے، اور اگر سمتیہ میدان کو منعکس کیا جائے، تو گھنگر مخالف سمت میں ہو جاتا ہے۔ یہ تمیز نیچے ہندسائی الجبرا میں واضح کیا گیا ہے، جو نیچے بیان کیا گیا ہے۔

سمتیہ حسابان میں اساسی عالج (غیر-تفریقی) کو سمتیہ الجبرا کہا جاتا ہے، اسے سمتیہ فضاء کہا جاتا ہے اور پھر سمتیہ میدان پر عالمی اطلاق کیا جاتا ہے، اور ذیل پر مشتمل ہے:

عددیہ ضرب
عددیہ میدان اور سمتیہ میدان کا ضرب سے بنتا ہے سمتیہ میدان؛ av؛
سمتیہ جمع
دو سمتیہ میدانوں کی جمع سے سمتیہ میدان بنتا ہے؛ v + w؛
ڈاٹ حاصل ضرب
دو سمتیہ میدانوں کا ضرب بنائے عددیہ میدان؛ v \cdot w؛
قاطع حاصل ضرب 
دو سمتیہ میدانوں کا ضرب بنائے سمتیہ میدان؛ v \times w

سمتیہ عالج[ترمیم]

سمتیہ فضا مطالعہ کرتا ہے مختلف تفریقی عالج جو عددیہ یا سمتیہ میدانوں پر تعریف کیے جاتے ہیں، جن کا عام طور پر ڈل عالج (\nabla) کے زریعہ اظہار کیا جاتا ہے۔ سمتیہ حسابان میں چار اہم عالج یہ ہیں:


عالج علامت وضاحت ساحہ/حیطہ
Gradient  \operatorname{grad}(f) = \nabla f عددیہ میدان میں تبدیلی کی شرح اور رُخ کو ناپتا ہے۔ عددیہ میدانوں کو سمتیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے
Curl گھنگر  \operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} سمتیہ میدان میں نقطہ کے گِرد گردش کے رحجان کو ناپتا ہے سمتیہ میدانوں کو کازب سمتیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے
Divergence  \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} سمتیہ میدان کے کسی نقطہ پر ماخذ یا سنڈاس کی مطلق قدر کو تاپتا ہے سمتیہ میدانوں کو عددیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے
Laplacian لاپلاسین  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f divergence اور gradient عالجوں کی ترکیب عددیہ میدانوں کو عددیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے

جہاں گھنگر اور انحراف میں فرق اس لیے ہے کیونکہ آخرالذکر قاطع حاصل ضرب استعمال کرتا ہے جبکہ اول اذکر ڈاٹ حاصل ضرب استعمال کرتا ہے، اور f سے مراد عددیہ میدان ہے اور F سے مراد سمتیہ میدان۔