سیوا کا قضیہ

سیوا کے قضیے کی پہلی صورت: تینوں مستقیم خطوط مثلث کے اندر ایک نقطے پر باہم متقاطع ہوتے ہیں۔

سیوا کے قضیے کی دوسری صورت: تینوں مستقیم خطوط مثلث کے باہر ایک نقطے پر باہم متقاطع ہوتے ہیں۔

اقلیدیسی ہندسہ میں سیوا کا قضیہ مشہور ریاضیاتی قضیوں میں شمار ہوتا ہے۔ اگر $ABC$ ایک مثلث ہے، جبکہ $D$، $E$ اور $F$ بالترتیب $BC$، $AC$ اور $AB$ اضلاع پر واقع نقاط ہیں، تو مستقیم خطوط $AD$، $BE$ اور $CF$ ایک نقطے $O$ پر باہم متقاطع ہوتے ہیں، اگر اور صرف اگر:  :${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$

جیوانی سیوا نے 1678ء میں اس قضیے کا ثبوت پیش کیا۔ جیوانی سیوا ایک اطالوی ریاضی دان تھے جو ہندسہ میں تخصص رکھتے تھے اور اسی قضیے کی وجہ سے مشہور ہوئے۔ تاہم، یہ قضیہ اس سے تقریباً چھ صدی قبل، گیارہویں صدی عیسوی میں، یوسف مؤتمن بن ہود، حاکمِ طائفۂ سرقسطہ، پہلے ہی ثابت کر چکے تھے۔

قضیۂ سیوا کا مثلثاتی صیغہ

قضیۂ سیوا کا ایک مماثل مثلثاتی صیغہ بھی ہے۔ اگر $ABC$ ایک مثلث ہے، جبکہ $D$، $E$ اور $F$ بالترتیب اضلاع $BC$، $AC$ اور $AB$ پر واقع نقاط ہیں، تو مستقیم خطوط $AD$، $BE$ اور $CF$ ایک نقطے $O$ پر باہم متقاطع ہوتے ہیں، اگر اور صرف اگر:

${\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB}}\times {\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}}\times {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle EBA}}=1$.

اطلاقات

یہاں ہم اس قضیے سے حاصل ہونے والے اہم براہِ راست نتائج بیان کرتے ہیں:

میڈین اور مرکزِ ثقل

مثلث کے تینوں میڈین ایک ہی نقطے پر باہم متقاطع ہوتے ہیں، جسے مرکزِ ثقل یا مثلث کا مرکزِ ثقل کہا جاتا ہے۔ مثلث ABC میں AD، BE اور CF میڈین ہیں، جو بالترتیب اضلاع BC، CA اور AB کو نقاط D، E اور F پر نصف کرتے ہیں۔

میڈین اور مرکزِ ثقل۔

مطلوب: میڈینوں کے ایک ہی نقطے پر باہم متقاطع ہونے کے لیے ضروری ہے کہ: ${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$ ہم دیکھتے ہیں کہ نقطہ F، ضلع AB کا وسط ہے، لہٰذا: ${\frac {AF}{FB}}=1\Leftarrow AF=FB\Leftarrow AB\,$

اسی طرح نقاط D اور E بالترتیب BC اور CA کے وسط ہیں، لہٰذا: ${\frac {BD}{DC}}=1,{\frac {CE}{EA}}=1\Leftarrow BC,CA\,$

واضح طور پر: $1.1.1=1\,$ لہٰذا سیوا کے قضیے کے مطابق مثلث کے میڈین AD، BE اور CF ایک ہی نقطے پر باہم متقاطع ہوتے ہیں۔

زاویوں کے منصفات

زاویوں کے منصفات کا نقطۂ تقاطع مثلث کے اندرونی دائرے کا مرکز ہے۔

زاویوں کے منصفات ایک ہی نقطے پر باہم متقاطع ہوتے ہیں۔ یہ نقطہ اندرونی دائرے کا مرکز ہوتا ہے، جو مثلث کے تینوں اضلاع کو مماس ہوتا ہے۔

مثلث $ABC$ میں $AD$، $BE$ اور $CF$ بالترتیب زاویوں $A$، $B$ اور $C$ کے منصفات ہیں۔

مطلوب: زاویوں کے منصفات کے ایک ہی نقطے پر باہم متقاطع ہونے کے لیے ضروری ہے کہ:

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$

زاویہ منصف کے قضیے کے مطابق:

${\frac {AF}{FB}}={\frac {AC}{BC}},\qquad {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}},\qquad {\frac {CE}{EA}}={\frac {BC}{AB}}$

لہٰذا:

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}={\frac {AC}{BC}}\cdot {\frac {AB}{AC}}\cdot {\frac {BC}{AB}}=1$

اس لیے سیوا کے قضیے کے مطابق مثلث کے تینوں زاویوں کے منصفات ایک ہی نقطے پر باہم متقاطع ہوتے ہیں۔

حوالہ جات

• Branko Grünbaum؛ G. C. Shephard (1995)۔ Ceva, Menelaus and the Area Principle۔ ج 68۔ ص 254–268۔ 2019-12-26 کو اصل سے آرکائیو کیا گیا {{حوالہ کتاب}}: |جریدہ= تُجوهل (معاونت).
• J. B. Hogendijk, "Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century kin of Saragossa and brilliant mathematician," Historia Mathematica 22 (1995) 1-18.
• Landy, Steven. A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions. The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 10 (Dec., 1988), pp. 936–939
• Masal'tsev, L. A. (1994) "Incidence theorems in spaces of constant curvature." Journal of Mathematical Sciences, Vol. 72, No. 4
• Wernicke, Paul. The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension. The American Mathematical Monthly, Vol. 34, No. 9 (Nov., 1927), pp. 468–472

بیرونی روابط

• مبرهنة تشيفا في شبكة رمز للرياضياتآرکائیو شدہ بذریعہ mathramz.com