فرق مساوات

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

فرق مساوات
دائم

difference equation
constant

اگر کسی متوالیہ کا رکن دوسرے اراکین کے دالہ کے طور پر مساوات کی صورت لکھا جا سکتا ہو، تو اس مساوات کو فرق مساوات کہتے ہیں۔

لکیری فرق مساوات (درجہ اول)[ترمیم]

پہلے درجے کی لکیری فرق مساوات کی ہئیت یوں ہوتی ہے

‎جہاں دائم اعداد ہیں۔ وجہ تسمیہ دیکھنے کیلئے مساوات کو یوں لکھتے ہیں

یعنی متوالیہ کے دو یکے بعد دیگرے ارکان کا فرق، پہلے رکن کے نسبی جوڑ کے طور پر منحصر ہے۔ اس مساوات کا حل دیکھنے کے لیے متوالیہ کے کچھ ارکان لکھتے ہیں، یہ سمجھتے ہوئے کہ ہمیں معلوم ہے:

آخری متوالیہ کی جمع جانتے ہوئے، مساوات کا حل یوں:

اس سے واضح ہے کہ ‎

مثال[ترمیم]

فرض کرو کہ چائے کی گرم پیالی میز پر رکھی ہے۔ کمرے کا درجہ حرارت ہے، اور چائے کا درجہ حرارت ہے، منٹ پر۔ علم حرارت کے قانون کے مطابق چائے کا درجہ حرارت اس فرق مساوات کے زیر ہے

فرض کرو کہ وقت صفر پر چائے کا درجہ حرارت تھا، یعنی ۔ ایک منٹ بعد درجہ حرارت نوٹ کیا گیا، یعنی ۔ اس طرح ہمیں دائم k کی قیمت معلوم ہو جاتی ہے: درجہ حرارت کی مساوات کو معیاری ہئیت میں یوں لکھا جا سکتا ہے: ‎ Diff plot.png
‎ اور اس کا حل کچھ سادگی کے بعد: ‎

چائے کا درجہ حرارت ڈگری سے گرتا ہؤا ڈگری تک جاتا ہے، چونکہ ۔ پلاٹ سے معلوم ہوتا ہے کہ تقریباً منٹ میں چائے ٹھنڈی ہو کر کمرے کے درجہ حرارت کے قریب پہنچ جاتی ہے، جہاں فرق مساوات کا وقتی دائم کہلاتا ہے۔

پہلے درجے کی اس مساوات ‎‎ کو n کی منفی جانب بھی بڑھایا جا سکتا ہے، جس کے لیے ہم اس مساوات کو یوں لکھتے ہیں: اوپر والے طریقے سے اس کا حل یہ نکل آتا ہے:

اس بار یہ واضح ہے کہ:

پہلی درجہ کی فرق مساوات کی زیادہ عام ہئیت یوں لکھی جا سکتی ہے، جہاں کوئی بھی دیا گیا متوالیہ ہو سکتا ہے:

جس کا حل بھی اوپر دیے طریقے سے نکالا جا سکتا ہے۔ غور کرو کہ اوپر کی بحث میں ایک دائم تھا۔

مثال[ترمیم]

فرق مساوات جس کو ایک کمپلکس سائینوسائڈ چلا رہا ہے:

اگرچہ اس مساوات کا حل ہم اوپر دیے گئے طریقے سے نکال سکتے ہیں، مگر یہاں ہم حل کی ایک ہئیت تجویز کرتے ہیں، یہ دیکھتے ہوئے کہ ہمیں کا حل معلوم ہے، اور ارتعاش ایک کمپلکس سائنوسایڈ ہے۔ تجویز کردہ حل کی ہئیت یوں ہے، جہاں A اور B نامعلوم دائم ہیں:

اب یہ سمجھتے ہوئے کہ n=0 پر ہمیں معلوم ہے، اس میں ڈال دیتے ہیں، اور A اور B میں ایک رشتہ معلوم کر لیتے ہیں:

اب چونکہ حل کو مساوات کی تسکین کرنی ہے، اس لیے:

جس سے ہمیں نامعلوم B کی قیمت معلوم ہو جاتی ہے:

اور اب مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے:

First diff eqn sinusoid.png

اس حل کو ہم کیلئے ہم پلاٹ کر سکتے ہیں۔ پلاٹ میں نیلے رنگ میں سائینوسائڈ ارتعاش دکھایا گیا ہے، جبکہ سرخ رنگ میں ہے۔ دیکھو کہ تقریباً کے بعد خود بھی ایک عام سائنوسائڈ بن جاتا ہے (جہاں وقتی دائم ) ۔

درجہ N کی لکیری فرق مساوات[ترمیم]

درجہ N کی لکیری فرق مساوات کی ہئیت یہ ہے:

لکیری مساوات کہنے کی وجہ یہ ہے، کہ اس مساوات کے اگر دو حل اور ہوں، تو ان حل کا لکیری جوڑ (مثلاً ) بھی اس مساوات کا حل ہو گا۔ درجہ N کی مساوات کے N آزاد حل ہوں گے جو کہ اس مساوات کے حل ہوں گے- مساوات کا عام حل ان N حلوں کا لکیری جوڑ ہو گا۔

درجہ دوم کی لکیری فرق مساوات[ترمیم]

دوسرے درجہ کی فرق مساوات
اس کے ایک حل کی ہئیت یہ تصور کرتے ہوئے، جہاں A ایک دائم ہے، یہ حل ہم مساوات میں ڈال دیتے ہیں:

اُپر کی مساوات سے کا حل یوں نکل آتا ہے جس سے ہمیں فرق مساوات کے دو حل بنا سکتے ہیں۔ فرق مساوات کا عام حل ان دو کے لکیری جوڑ سے یوں بنتا ہے:

جہاں دو دائم ہیں، جن کی قیمت ہم معلوم کر سکتے ہیں، اگر ہمیں ابتدائی معلوم ہوں، نیچے دی مساوات کو حل کر کے:

اگر (یعنی ) تو فرق مساوات کا حل یوں لکھا جائے گا:

مثال[ترمیم]

فرض کرو کہ درجہ دوم کی مساوات کے عددی سر یوں ہیں
تو اس مساوات کے جزر نکالنے ہیں:
جو کہ مختلط عدد ہیں
اب دوسرے درجے کی فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے

جہاں دائم ابتدائی حالت سے نکالے جائینگے۔ Diff2 eq u.png
فرض کرو کہ ابتدائی حالت یہ ہے: یوں سمجھو کہ یہ مساوات دو ستونوں کے درمیان سختی سے بندھی ہوئی ایک لوہے کی تار کی حالت بیان کر رہی ہے۔ تار کو وقت "منفی ایک" پر کھینچ کر چھوڑ دیا جاتا ہے، جس کہ بعد تار کچھ دیر ارتعاش میں رہ کر اپنی اصل حالت پر واپس آ جاتی ہے۔
ابتدائی حالت کو استعمال کرتے ہوئے دائم نکالتے ہیں: جس سے پتہ چلتا ہے کہ اور
اب فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے:
پلاٹ میں غور کرو کہ تقریبا وقت کے بعد سائینوسایڈ (مساوات کا حل ) تقریباً صفر ہو جاتا ہے، جہاں وقتی دائم

درجہ N کی لکیری فرق مساوات کی زیادہ عام ہئیت یہ ہے:
اس مساوات کو بیرونی ارتعاش چلا رہا ہے۔ اس مساوات کے حل میں اوپر کےN حلوں کے علاوہ ایک رقم جو پر منحصر ہو گی، جمع کی جائے گی۔

میٹرکس صورت[ترمیم]

اس درجہ N کی لکیری فرق مساوات کو ہم ایک میٹرکس مساوات کی صورت لکھیں گے۔ اس کے لیے ہم ایک ستون میٹرکس

بناتے ہیں۔ اب اور پر غور کرتے ہوئے، درجہ N کی فرق مساوات کو پہلے درجہ کی میٹرکس مساوات کی صورت یوں ڈھالا جا سکتا ہے:
یا


جہاں سائیز کی مربع میٹرکس ہے۔ اب اس میٹرکس مساوات سے متوالیہ سائیلیب میں بآسانی نکالا جا سکتا ہے۔ ستون میٹرکس کا کوئی بھی جُز اصل فرق مساوات کا حل ہے۔ پہلے درجہ کی میٹرکس فرق مساوات کا حل یوں لکھا جا سکتا ہے:

ویژہ قیمت[ترمیم]

اوپر دی درجہ دوم کی لکیری فرق مساوات کی مثال
کو میٹرکس صورت لکھو، تو میٹرکس یہ ہو گی: اب اگر اس میٹرکس کی ویژہ قیمت نکالی جائے تو وہی مساوات مل جاتی ہے اس سے معلوم ہوتا ہے کہ فرق مساوات کے حل پر اس میٹرکس (یا فرق مساوات) کی ویژہ قیمتوں کا راج ہوتا ہے۔

اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات