متفرد لاگرتھم

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

متفرد لاگرتھم

discrete logarithm

ریاضیات میں متفرد لاگرتھم عام لاگرتھم کا گروہ نظریاتی مماثل ہیں۔ خاص طور پر عام لاگرتھم loga(b) اس مساوات ax = b کا حل ہے، حقیقی اعداد (یا مختلط اعداد پر)۔ بعینہ اگر g اور h متناہی دوری گروہ G کے عنصر ہوں، اور مساوات gx = h کا حل x ہو، تو x کو h کا متفرد لاگرتھم کہا جائے گا اساس g پر۔

مثال[ترمیم]

متفرد لاگرتھم آسانی سے گروہ (Zp)× میں سمجھے جا سکتے ہیں۔ یہ اولی عدد p کے معامل، ضرب عالج کے ساتھ مطابقت جماعت {1, …, p − 1} ہے۔

اگر ہم اس گروہ کے کسی عنصر کی k- ایوں طاقت نکالنا چاہیں، تو ہم اس کی بطور صحیح عدد k-ایوں طاقت نکالیں گے اور اس کو p سے تقسیم کرنے پر "باقی تقسیم" کو جواب مانیں گے۔ اس عمل کو متفرد اسائیا کہتے ہیں۔ مثال کے طور پر گروہ (Z17)× میں دیکھو۔ گروہ (Z17)×کے عناصر

\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}

ہیں، اور اس میں ضرب (\times) عالج معامل 17 کے، متعریف ہے۔ اس گروہ میں 34 نکالنے کے لیے، ہم پہلے 34 = 81 نکالتے ہیں، پھر 81 کو 17 سے تقسیم کرتے ہیں، جس کا باقی تقسیم 13 آتا ہے۔ اس طرح گروہ (Z17)× میں 34 = 13 ہو گا۔

متفرد لاگرتھم اس کا مقلوب عالج ہے۔ مثال، مساوات 3k ≡ 13 (mod 17) کو متغیر k میں دیکھو۔ جیسا کہ اوپر دکھایا گیا کہ k=4 اس کا حل ہے، مگر یہ واحد حل نہیں۔ چونکہ 316 ≡ 1 (mod 17)، اس سے پتہ چلتا ہے کہ اگر n صحیح عدد ہے تو 34+16 n ≡ 13 × 1n ≡ 13 (mod 17) ۔ اس لیے اس مساوات کے لامتناہی حل ہیں جن کی ہئیت 4 + 16n ہے۔ مزید برآں، چونکہ 16 سب سے چھوٹا مثبت صھیح عدد m ہے جو 3m ≡ 1 (mod 17) کی تسکین کرتا ہے، یعنی (Z17)× میں 3 کا مرتب 16 ہے۔ یہ تمام حل ہیں۔ مساواً حل کو k ≡ 4 (mod 16) لکھا جا سکتا ہے۔ یعنی گروہ (Z17)× میں 13 کا متفرد لاگرتھم k ≡ 4 (mod 16) ہے اساس 3 پر۔