متفرد لاگرتھم

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
Jump to navigation Jump to search
اصطلاح term

متفرد لاگرتھم

discrete logarithm

ریاضیات میں متفرد لاگرتھم عام لاگرتھم کا گروہ نظریاتی مماثل ہیں۔ خاص طور پر عام لاگرتھم loga(b) اس مساوات ax = b کا حل ہے، حقیقی اعداد (یا مختلط اعداد پر)۔ بعینہ اگر g اور h متناہی دوری گروہ G کے عنصر ہوں اور مساوات gx = h کا حل x ہو، تو x کو h کا متفرد لاگرتھم کہا جائے گا اساس g پر۔

مثال[ترمیم]

متفرد لاگرتھم آسانی سے گروہ (Zp)× میں سمجھے جا سکتے ہیں۔ یہ اولی عدد p کے معامل، ضرب عالج کے ساتھ مطابقت جماعت {1, …, p − 1} ہے۔

اگر ہم اس گروہ کے کسی عنصر کی k- ایوں طاقت نکالنا چاہیں، تو ہم اس کی بطور صحیح عدد k-ایوں طاقت نکالیں گے اور اس کو p سے تقسیم کرنے پر "باقی تقسیم" کو جواب مانیں گے۔ اس عمل کو متفرد اسائیا کہتے ہیں۔ مثال کے طور پر گروہ (Z17)× میں دیکھو۔ گروہ (Z17)×کے عناصر

ہیں اور اس میں ضرب () عالج معامل 17 کے، متعریف ہے۔ اس گروہ میں 34 نکالنے کے لیے، ہم پہلے 34 = 81 نکالتے ہیں، پھر 81 کو 17 سے تقسیم کرتے ہیں، جس کا باقی تقسیم 13 آتا ہے۔ اس طرح گروہ (Z17)× میں 34 = 13 ہو گا۔

متفرد لاگرتھم اس کا مقلوب عالج ہے۔ مثال، مساوات 3k ≡ 13 (mod 17) کو متغیر k میں دیکھو۔ جیسا کہ اوپر دکھایا گیا کہ k=4 اس کا حل ہے، مگر یہ واحد حل نہیں۔ چونکہ 316 ≡ 1 (mod 17)، اس سے پتہ چلتا ہے کہ اگر n صحیح عدد ہے تو 34+16 n ≡ 13 × 1n ≡ 13 (mod 17)۔ اس لیے اس مساوات کے لامتناہی حل ہیں جن کی ہیئت 4 + 16n ہے۔ مزید برآں، چونکہ 16 سب سے چھوٹا مثبت صھیح عدد m ہے جو 3m ≡ 1 (mod 17) کی تسکین کرتا ہے، یعنی (Z17)× میں 3 کا مرتب 16 ہے۔ یہ تمام حل ہیں۔ مساواً حل کو k ≡ 4 (mod 16) لکھا جا سکتا ہے۔ یعنی گروہ (Z17)× میں 13 کا متفرد لاگرتھم k ≡ 4 (mod 16) ہے اساس 3 پر۔