مصفوفہ کی قطبی ہئیت

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش

اگر A مربع غیر-اکیلوی مصفوفہ ہو، تو اسے ایک ایکاوی مصفوفہ U اور ہرمشن غیر منفی بالکل مصفوفہ H کے حاصل ضرب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے

 A = H U

س کے علاوہ یہ معلوم مسئلہ ہے کہ اگر H غیر منفی بالکل ہرمشن مصفوفہ ہو، تو ایسی ہرمشن مصفوفہ X وجود رکھتی ہے کہ  H = \exp(X) ہو۔ اس طرح مصفوفہ A کو یوں لکھا جا سکتا ہے

 A = \exp(X) U

جو مصفوفہ A کی قطبی ہئیت کہلاتا ہے، اور یہ ہئیت منفرد ہے۔ یہاں مختلط عدد z کی قطبی صورت   r \exp(i \theta) سے مماثلت ہے:

 z = r \exp(i \theta)

اس ہئیت میں  \exp(X) مصفوفہ A کا مطلقہ ہے (جو r کے مماثل ہے)، اور U اس کا گھماؤ ہے (جو  \exp(i \theta) کے مماثل ہے)۔


اس کو یوں سمجھا حا سکتا ہے۔[1] ایکاوی مصفوفہ U کے زریعہ A کو ترچھی بنایا جا سکتا ہے، یعنی


 U^{\dagger} A U = 
\begin{bmatrix}
\alpha_0 & 0 & 0 & ... \\
0 & \alpha_1 & 0 & ...\\
0 & 0 & \alpha_2 & ...\\
... & ... & ... 
\end{bmatrix}
= \text{diag}(\alpha_k)

اب مختلط عدد \alpha_k کو قطبی صورت یوں \alpha_k=r_k \exp(i \theta_k) لکھا جا سکتا ہے جہاں r_k>0,  \theta_k \in \mathbb{R} ہیں۔ اسلئے

\text{diag}(\alpha_k) = \text{diag}(r_k) \text{diag}(e^{i \theta_k})

اور ہم لکھ سکتے ہیں

A = U \text{diag}(r_k) U^{\dagger} U \text{diag}(e^{i \theta_k}) U^{\dagger}

خیال رہے کہ کسی ایکوی مصفوفہ U کے لیے ہمیشہ  U U^{\dagger} = 1 ہوتا ہے۔

اب یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ مصفوفہ  U \text{diag}(r_k) U^{\dagger} غیرمنفی بالکل ہرمشن ہے اور مصفوفہ  U \text{diag}(e^{i \theta_k}) U^{\dagger} ایکاوی ہے۔


  1. ^ تیکہیٹو یوکویاما (3 اپریل 2011ء). "polar representation of a matrix". http://www.stat.phys.titech.ac.jp/~yokoyama/note2.pdf.