ہندوستانی ریاضی

ہندوستانی ریاضی 1200 قبل مسیح سے لے کر 18ویں صدی کے آخر تک برصغیر میں پروان چڑھی۔ ہندوستانی ریاضی کے کلاسیکی دور (400 عیسوی سے 1200 عیسوی) میں، اسکالرز جیسے آریہ بھٹ، برہما گپتا، آچاریہ بھاسکر، وراہ مہیر اور مادھو سنگم گرام نے اہم شراکتیں کیں۔ آج استعمال ہونے والا اعشاریہ نظام سب سے پہلے ہندوستانی ریاضی میں درج ہوا۔ ہندوستانی ریاضی دانوں نے صفر (عدد) کے تصور کو ایک عدد کے طور پر، منفی عدد، حساب اور الجبرا کے مطالعہ میں ابتدائی شراکتیں کیں۔ اس کے علاوہ، مثلثیات کو ہندوستان میں مزید ترقی دی گئی اور خاص طور پر، سائن اور کوسائن کی جدید تعریفیں وہاں تیار کی گئیں۔ یہ ریاضیاتی تصورات مشرق وسطیٰ، چین اور یورپ کو منتقل ہوئے اور مزید ترقیوں کا باعث بنے جو اب ریاضی کے بہت سے شعبوں کی بنیاد ہیں۔

قدیم اور قرون وسطی کی ہندوستانی ریاضی کی تحریریں، جو سب سنسکرت میں لکھی گئیں، عام طور پر سوترا کے ایک حصے پر مشتمل ہوتی تھیں جس میں ایک طالب علم کو یاد رکھنے میں مدد کے لیے شعر میں قواعد یا مسائل کا ایک مجموعہ بیان کیا جاتا تھا۔ اس کے بعد ایک دوسرا حصہ ہوتا تھا جس میں ایک نثر کی تفسیر (کبھی کبھی مختلف اسکالرز کی طرف سے متعدد تفسیریں) شامل ہوتی تھیں جو مسئلے کو مزید تفصیل سے بیان کرتی تھیں اور حل کے لیے جواز فراہم کرتی تھیں۔ نثر کے حصے میں، شکل (اور اس لیے اس کی یادداشت) کو اتنا اہم نہیں سمجھا جاتا تھا جتنا کہ اس میں شامل خیالات کو۔ تمام ریاضیاتی کام زبانی طور پر 500 قبل مسیح تک منتقل ہوتے رہے؛ اس کے بعد، وہ زبانی اور مسودہ دونوں شکل میں منتقل ہونے لگے۔ ہندوستانی برصغیر پر تیار ہونے والا قدیم ترین ریاضیاتی دستاویز بخشیلی مسودہ ہے، جو 1881 میں بخشیلی گاؤں میں دریافت ہوا، جو پشاور (موجودہ پاکستان) کے قریب ہے اور یہ غالباً 7ویں صدی عیسوی کا ہے۔

ہندوستانی ریاضی میں ایک بعد کا اہم سنگ میل کیرلا اسکول کے ریاضی دانوں کی طرف سے 15ویں صدی عیسوی میں مثلثیاتی دالہ (سائن، کوسائن اور آرک ٹینجنٹ) کے لیے سلسلہ (ریاضی) کی توسیعات کی ترقی تھی۔ ان کا کام، یورپ میں احصا کی ایجاد سے دو صدی پہلے مکمل ہوا، جو اب قوتی سلسلہ (جیومیٹرک سیریز کے علاوہ) کی پہلی مثال سمجھا جاتا ہے۔ تاہم، انھوں نے مشتق اور تکامل کا کوئی نظاماتی نظریہ تشکیل نہیں دیا اور نہ کوئی ثبوت ہے کہ ان کے نتائج کیرلا سے باہر منتقل ہوئے ہوں۔

ما قبل تاریخ

وادی سندھ کی تہذیب میں معیاری کیے گئے مکعبی وزن

ہڑپہ، موہن جو دڑو اور وادیٔ سندھ کی تہذیب کے دیگر مقامات پر کی گئی کھدائیوں سے "عملی ریاضی" کے استعمال کے شواہد ملے ہیں۔ وادی سندھ کے لوگوں نے اینٹیں تیار کیں جن کے طول و عرض 4:2:1 کے تناسب میں تھے، جو اینٹوں کی ساخت کی استحکام کے لیے موزوں سمجھا جاتا تھا۔ انھوں نے وزن کا ایک معیاری نظام استعمال کیا جو درج ذیل تناسب پر مبنی تھا: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, اور 500، جس میں یونٹ کا وزن تقریباً 28 گرام تھا (جو تقریباً انگریزی اونس یا یونانی اونسیا کے برابر ہے)۔ انھوں نے وزن کو باقاعدہ ہندسی شکلوں میں تیار کیا، جس میں ہیکساہیڈرون، بیرل، مخروط اور اسطوانہ شامل تھے، جو بنیادی ہندسہ کے علم کا مظاہرہ کرتے ہیں۔

وادی سندھ کی تہذیب کے رہائشیوں نے لمبائی کی پیمائش کو بھی اعلیٰ درجے کی درستی کے ساتھ معیاری بنانے کی کوشش کی۔ انھوں نے ایک حکمران ڈیزائن کیا — جسے موہن جو دڑو کا حکمران کہا جاتا ہے — جس کی لمبائی کا یونٹ (تقریباً 1.32 انچ یا 3.4 سینٹی میٹر) دس برابر حصوں میں تقسیم تھا۔ قدیم موہن جو دڑو میں تیار کی گئی اینٹوں کے طول و عرض اکثر اس لمبائی کے یونٹ کے ضربی ہوتے تھے۔

لوتھل (2200 قبل مسیح) اور دھولویرا میں دریافت ہونے والے خول سے بنے ہوئے کھوکھلے استوانی اشیاء کو ہوائی جہاز میں زاویوں کی پیمائش کرنے اور ستاروں کی پوزیشن کا تعین کرنے کی صلاحیت کا مظاہرہ کیا گیا ہے۔

ویدک دور

مزید دیکھیے: ویدانگا اور وید

سمنہتا اور براہمن

ویدک دور کے متون بڑی تعداد کے استعمال کے شواہد فراہم کرتے ہیں۔ یجر وید (1200–900 قبل مسیح) کے زمانے تک، متون میں 10¹² جیسی بڑی تعداد شامل کی جا رہی تھیں۔ مثال کے طور پر، اشومیدھ کے دوران انجام دی جانے والی آنہومہ ("خوراک کی قربانی") کے اختتام پر پڑھا جانے والا منتر، جو سورج نکلنے سے پہلے، دوران اور بعد میں پڑھا جاتا ہے، دس کی طاقتوں کو ایک سو سے ایک کھرب تک بیان کرتا ہے:

شاتا ("سو"، 10²) کو سلام، سہسرا ("ہزار"، 10³) کو سلام، ایوتا ("دس ہزار"، 10⁴) کو سلام، نیوتا ("ایک لاکھ"، 10⁵) کو سلام، پرایوتا ("دس لاکھ"، 10⁶) کو سلام، اربُد ("دس ملین"، 10⁷) کو سلام، نیاربُد ("سو ملین"، 10⁸) کو سلام، سمُدر ("ایک ارب"، 10⁹، لفظی معنی "سمندر") کو سلام، مدھیہ ("دس ارب"، 10¹⁰، لفظی معنی "درمیان") کو سلام، انت ("سو ارب"، 10¹¹، لفظی معنی "اختتام") کو سلام، پراردھ ("ایک کھرب"، 10¹²، لفظی معنی "حصوں سے پرے") کو سلام، اشوس (طلوع) کو سلام، ویوشتی (غروب) کو سلام، اُدیسیت (جو ابھرنے والا ہے) کو سلام، اُدیت (جو ابھر رہا ہے) کو سلام، اُدیت (جو ابھر چکا ہے) کو سلام، سورگ (جنت) کو سلام، مرتیہ (دنیا) کو سلام، سب کو سلام۔

جزوی کسر کا حل رگویدک لوگوں کو معلوم تھا، جیسا کہ پوروش سوکت (RV 10.90.4) میں بیان کیا گیا ہے:

پوروش کے تین چوتھائی حصے اوپر چلے گئے: اس کا ایک چوتھائی حصہ یہاں دوبارہ تھا۔

ست پتھ براہمن (تقریباً 7ویں صدی قبل مسیح) میں رسمی ہندسی تعمیرات کے قواعد شامل ہیں جو سلوا سوتروں سے ملتے جلتے ہیں۔

شلب سوتر

تفصیلی مضمون کے لیے شلبسوتر ملاحظہ کریں۔

شلبسوتر (لفظی معنی، "ڈوریوں کے قواعد" ویدک سنسکرت میں) (تقریباً 700–400 قبل مسیح) میں قربانی کی آگ کے چبوتروں کی تعمیر کے قواعد درج ہیں۔ شلب سوتر میں پیش کیے گئے زیادہ تر ریاضیاتی مسائل "ایک الہیاتی ضرورت" سے پیدا ہوتے ہیں، یعنی مختلف شکلوں کے آگ کے چبوترے بنانا جو ایک جگہ پر ہوں۔ چبوتروں کو جلی ہوئی اینٹوں کی پانچ تہوں سے بنانا ضروری تھا اور ہر تہ میں 200 اینٹیں ہونی چاہئیں اور کوئی بھی دو متصل تہوں میں اینٹوں کی ترتیب یکساں نہیں ہونی چاہیے۔

ہیاشی کے مطابق، شلب سوتر میں "دنیا میں مسئلۂ فیثا غورث کا سب سے قدیم زبانی اظہار موجود ہے، حالانکہ یہ قدیم بابلیوں کو پہلے سے معلوم تھا۔"

ایک مستطیل کے وتر (akṣṇayā-rajju) نے وہی پیدا کیا جو اس کے اطراف (pārśvamāni) اور افقی (tiryaṇmānī) <ڈوریوں> نے الگ الگ پیدا کیا۔"

چونکہ یہ بیان ایک سوتر ہے، اس لیے یہ ضروری طور پر مختصر ہے اور یہ واضح نہیں ہے کہ ڈوریوں نے کیا پیدا کیا، لیکن سیاق و سباق سے واضح ہے کہ یہ ان کی لمبائی پر بنائے گئے مربع رقبے ہیں اور استاد نے شاگرد کو اس کی وضاحت کی ہوگی۔

ان میں فیثاغورثی ثلاثی کی فہرستیں شامل ہیں، جو ڈائیوفانٹائن مساوات کے خاص حالات ہیں۔ ان میں دائرے کو مربع بنانے اور "مربع کو دائرے میں تبدیل کرنے" کے بارے میں بیانات (جو ہم بعد میں جان گئے کہ تقریبی تھے) بھی شامل ہیں۔

بودھیان سوتر (تقریباً 8ویں صدی قبل مسیح) نے بودھیان شلب سوتر لکھا، جو سب سے مشہور شلب سوتر ہے، جس میں سادہ فیثاغورثی ثلاثی کی مثالیں شامل ہیں، جیسے: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), اور (12, 35, 37), نیز مربع کے اطراف کے لیے فیثاغورث کا نظریہ: "مربع کے وتر پر کھینچی گئی ڈوری اصل مربع کے رقبے سے دگنا رقبہ پیدا کرتی ہے۔" اس میں فیثاغورث کے نظریے کا عمومی بیان (مستطیل کے اطراف کے لیے) بھی شامل ہے: "مستطیل کے وتر پر کھینچی گئی ڈوری وہ رقبہ پیدا کرتی ہے جو عمودی اور افقی اطراف مل کر پیدا کرتے ہیں۔" بودھیان نے جذر المربع دو کے لیے ایک اظہار بھی دیا:

${\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}=1.4142156\ldots$

یہ اظہار پانچ اعشاریہ جگہوں تک درست ہے، جبکہ اصل قدر 1.41421356... ہے۔ یہ اظہار ایک میسوپوٹامیائی تختی پر پایا گیا اظہار سے ملتا جلتا ہے جو قدیم بابلی دور (1900–1600 عام زمانہ) کی ہے:

${\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421297\ldots$

جو √2 کو سیکسجیسیمل نظام میں ظاہر کرتا ہے اور یہ بھی پانچ اعشاریہ جگہوں تک درست ہے۔

ریاضی دان ایس جی ڈینی کے مطابق، بابلی کیونیفارم تختی پلمپٹن 322 جو تقریباً 1850 قبل مسیح میں لکھی گئی تھی، "کافی بڑے اندراجات کے ساتھ پندرہ فیثاغورثی ثلاثی پر مشتمل ہے، جن میں (13500, 12709, 18541) بھی شامل ہے جو ایک بنیادی ثلاثی ہے، جو خاص طور پر ظاہر کرتا ہے کہ 1850 قبل مسیح میں میسوپوٹامیہ میں اس موضوع پر گہری سمجھ تھی۔" "چونکہ یہ تختیاں شلب سوتر کے دور سے کئی صدیوں پہلے کی ہیں اور کچھ ثلاثیوں کے سیاق و سباق کو مدنظر رکھتے ہوئے، یہ توقع کرنا معقول ہے کہ ہندوستان میں بھی اسی طرح کی سمجھ موجود ہوگی۔" ڈینی مزید کہتے ہیں:

چونکہ شلب سوتر کا بنیادی مقصد چبوتروں کی تعمیر اور ان میں شامل ہندسی اصولوں کو بیان کرنا تھا، اس لیے فیثاغورثی ثلاثی کا موضوع، چاہے اس کی اچھی طرح سمجھ موجود ہو، شلب سوتر میں شامل نہیں ہو سکتا تھا۔ شلب سوتر میں ثلاثیوں کا ظہور ایسی ریاضی سے مشابہت رکھتا ہے جو کسی تعمیرات یا دیگر اسی طرح کے عملی شعبے کی ابتدائی کتاب میں مل سکتی ہے، اور اس زمانے میں اس موضوع پر مجموعی علم سے براہ راست مطابقت نہیں رکھتا۔ بدقسمتی سے، چونکہ کوئی دیگر ہم عصر ذرائع نہیں ملے ہیں، اس لیے یہ ممکن نہیں ہے کہ اس مسئلے کو تسلی بخش طریقے سے حل کیا جا سکے۔

کل تین شلب سوتر لکھے گئے۔ باقی دو، منو شلب سوتر جو منو (تقریباً 750–650 قبل مسیح) نے لکھا اور اپستمب شلب سوتر، جو اپستمب (تقریباً 600 قبل مسیح) نے لکھا، بودھیان شلب سوتر کے مشابہ نتائج پر مشتمل ہیں۔

ویاکرن

تفصیلی مضمون کے لیے ویاکرن ملاحظہ کریں۔

ویدک دور میں سنسکرت کے ماہر قواعد پانینی (تقریباً 520–460 قبل مسیح) کا کام دیکھا گیا۔ ان کی قواعد میں بیکس-نار فارم (جو پروگرامنگ زبانوں کی وضاحت میں استعمال ہوتا ہے) کا پیشرو شامل ہے۔

پنگل (300 قبل مسیح – 200 قبل مسیح)

ویدک دور کے بعد کے اسکالرز میں سے جو ریاضی میں حصہ ڈالتے ہیں، سب سے قابل ذکر پنگل (piṅgalá) (تقریباً 300–200 قبل مسیح) ہیں، جو موسیقی کے نظریہ دان تھے جنھوں نے چھند شاستر (chandaḥ-śāstra، جسے چھند سوتر chhandaḥ-sūtra بھی کہا جاتا ہے) لکھا، جو سنسکرت میں عروض پر ایک مقالہ ہے۔ پنگل کے کام میں فیبونیکی اعداد (جنہیں ماترا میرو کہا جاتا ہے) کے بنیادی خیالات بھی شامل ہیں۔ اگرچہ چھند سوتر مکمل طور پر محفوظ نہیں ہے، لیکن ہلایودھا کی 10ویں صدی کی تفسیر موجود ہے۔ ہلایودھا، جو پاسکل کے تکون کو میرو پرشتار (لفظی معنی "میرو پہاڑ کی سیڑھی") کہتے ہیں، نے یہ کہا:

ایک مربع بنائیں۔ مربع کے نصف سے شروع کرتے ہوئے، اس کے نیچے دو اور اسی طرح کے مربع بنائیں؛ ان دو کے نیچے، تین دیگر مربع بنائیں، اور اسی طرح آگے بڑھیں۔ نشان لگانے کا آغاز پہلے مربع میں 1 رکھ کر کریں۔ دوسری لائن کے دو مربعوں میں ہر ایک میں 1 رکھیں۔ تیسری لائن میں آخر کے دو مربعوں میں 1 رکھیں اور درمیانے مربع میں، اوپر والے دو مربعوں میں موجود ہندسوں کا مجموعہ رکھیں۔ چوتھی لائن میں آخر کے دو مربعوں میں 1 رکھیں۔ درمیانے مربعوں میں، ہر ایک کے اوپر والے دو مربعوں میں موجود ہندسوں کا مجموعہ رکھیں۔ اسی طرح آگے بڑھیں۔ ان لائنوں میں، دوسری لائن ایک حرف کے ساتھ ترکیبات دیتی ہے، تیسری لائن دو حروف کے ساتھ ترکیبات دیتی ہے، ...

متن میں یہ بھی اشارہ کیا گیا ہے کہ پنگل تالیفیاتی شناخت سے واقف تھے:

${n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}$

کاتیان

کاتیان (تقریباً تیسری صدی قبل مسیح) ویدک ریاضی دانوں میں سے آخری قابل ذکر شخصیت ہیں۔ انھوں نے کاتیان شلب سوتر لکھا، جس میں بہت سے ہندسی مسائل شامل تھے، جن میں فیثاغورث کا عمومی نظریہ اور جذر المربع دو کا حساب پانچ اعشاریہ جگہوں تک درست تھا۔

جین ریاضی (400 قبل مسیح – 200 عیسوی)

اگرچہ جین مت ایک مذہب اور فلسفہ کے طور پر اپنے سب سے مشہور مبلغ، عظیم مہاویر (6ویں صدی قبل مسیح) سے پہلے کا ہے، لیکن ریاضی کے موضوعات پر زیادہ تر جین متون 6ویں صدی قبل مسیح کے بعد لکھے گئے ہیں۔ جین مت کے ریاضی دان تاریخی طور پر اہم ہیں کیونکہ وہ ویدک دور کی ریاضی اور "کلاسیکی دور" کی ریاضی کے درمیان اہم رابطہ ہیں۔

جین ریاضی دانوں کی ایک اہم تاریخی شراکت یہ تھی کہ انھوں نے ہندوستانی ریاضی کو مذہبی اور رسمی پابندیوں سے آزاد کیا۔ خاص طور پر، بہت بڑی تعداد کی گنتی اور لامتناہی کے ساتھ ان کی دلچسپی نے انھیں اعداد کو تین کلاسوں میں تقسیم کرنے پر مجبور کیا: قابل شمار، ناقابل شمار اور لامتناہی۔ لامتناہی کے سادہ تصور سے مطمئن نہ ہونے پر، ان کے متون میں لامتناہی کی پانچ مختلف اقسام کی تعریف کی گئی ہے: ایک سمت میں لامتناہی، دو سمتوں میں لامتناہی، رقبے میں لامتناہی، ہر جگہ لامتناہی اور ہمیشہ لامتناہی۔ اس کے علاوہ، جین ریاضی دانوں نے مربع اور مکعب جیسی اعداد کی سادہ طاقتوں (اور قوتوں) کے لیے علامتیں تیار کیں، جس نے انھیں سادہ الجبرائی مساوات (bījagaṇita samīkaraṇa) کی تعریف کرنے کے قابل بنایا۔ جین ریاضی دانوں نے صفر کے لیے لفظ شونیا (لفظی معنی سنسکرت میں خالی) استعمال کرنے والے پہلے لوگ تھے۔ یہ لفظ صفر کی اصل ہے، کیونکہ یہ عربی میں ṣifr کے طور پر اور پھر بعد میں قرون وسطی کی لاطینی میں zephirum کے طور پر استعمال ہوا اور آخر کار رومنی زبانوں سے گذر کر انگریزی میں پہنچا (مثلاً فرانسیسی zéro، اطالوی zero)۔

سوریہ پرجناپتی کے علاوہ، ریاضی پر اہم جین کاموں میں ستھانانگ سوتر (تقریباً 300 قبل مسیح – 200 عیسوی)؛ انوگودوار سوتر (تقریباً 200 قبل مسیح – 100 عیسوی)، جس میں ہندوستانی ریاضی میں عاملیوں کا سب سے قدیم معلوم بیان شامل ہے؛ اور Ṣaṭkhaṅḍāgama (تقریباً دوسری صدی عیسوی) شامل ہیں۔ اہم جین ریاضی دانوں میں بھدر بہو (وفات 298 قبل مسیح)، جو دو فلکیاتی کاموں کے مصنف تھے، بھدر بہوی-سمہیتا اور سوریہ پرجناپتی پر ایک تفسیر؛ یاتی ورشم اچاریہ (تقریباً 176 قبل مسیح)، جنھوں نے تلویاپنتی نامی ایک ریاضیاتی متن لکھا؛ اور اوماسوتی (تقریباً 150 قبل مسیح)، جو اگرچہ جین فلسفہ اور مابعدالطبیعیات پر اپنے اثرانداز تحریروں کے لیے زیادہ مشہور ہیں، نے تتوارتھ سوتر نامی ایک ریاضیاتی کام بھی لکھا۔

زبانی روایت

قدیم اور ابتدائی قرون وسطی کے ہندوستانی ریاضی دان تقریباً تمام سنسکرت پنڈت (paṇḍita "عالم") تھے، جو سنسکرت زبان اور ادب میں تربیت یافتہ تھے اور "قواعد (vyākaraṇa)، تشریح (mīmāṃsā) اور منطق (nyāya) میں علم کا ایک مشترکہ ذخیرہ رکھتے تھے۔" قدیم ہندوستان میں مقدس متون کی منتقلی میں "جو سنا گیا" (شروتی سنسکرت میں) کو حفظ کرنے اور پڑھنے کا اہم کردار تھا۔ حفظ کرنے اور پڑھنے کا استعمال فلسفیانہ اور ادبی کاموں کے ساتھ ساتھ رسومات اور قواعد پر مقالوں کی منتقلی کے لیے بھی کیا جاتا تھا۔ قدیم ہندوستان کے جدید اسکالرز نے "ہندوستانی پنڈتوں کی حقیقی قابل ذکر کامیابیوں" کی نشان دہی کی ہے جنھوں نے ہزاروں سالوں تک بہت بڑے متون کو زبانی طور پر محفوظ کیا۔

حفظ کرنے کے انداز

قدیم ہندوستانی ثقافت نے یہ یقینی بنانے کے لیے بہت زیادہ توانائی صرف کی کہ یہ متون نسلاً بعد نسل بے مثال وفاداری کے ساتھ منتقل ہوں۔ مثال کے طور پر، مقدس ویدوں کو حفظ کرنے میں ایک ہی متن کے گیارہ مختلف طریقوں سے پڑھنا شامل تھا۔ متون کو بعد میں مختلف طریقوں سے پڑھ کر "پروف ریڈ" کیا جاتا تھا۔ پڑھنے کے طریقوں میں jaṭā-pāṭha (لفظی معنی "جالی پڑھنا") شامل تھا جس میں متن کے ہر دو متصل الفاظ کو پہلے اصل ترتیب میں پڑھا جاتا تھا، پھر الٹ ترتیب میں دہرایا جاتا تھا اور آخر میں اصل ترتیب میں دہرایا جاتا تھا۔ پڑھنے کا عمل اس طرح ہوتا تھا:

word1word2, word2word1, word1word2; word2word3, word3word2, word2word3; ...

پڑھنے کے ایک اور طریقے، dhvaja-pāṭha (لفظی معنی "جھنڈا پڑھنا") میں N الفاظ کے ایک سلسلے کو پڑھا جاتا تھا (اور حفظ کیا جاتا تھا) پہلے دو اور آخری دو الفاظ کو جوڑ کر اور پھر اس طرح آگے بڑھ کر:

word₁word₂, word_{N − 1}word_N; word₂word₃, word_{N − 2}word_{N − 1}; ..; word_{N − 1}word_N, word₁word₂;

پڑھنے کا سب سے پیچیدہ طریقہ، ghana-pāṭha (لفظی معنی "گھنا پڑھنا")، فیلیوزاٹ کے مطابق، اس طرح تھا:

word1word2, word2word1, word1word2word3, word3word2word1, word1word2word3; word2word3, word3word2, word2word3word4, word4word3word2, word2word3word4; ...

کہ یہ طریقے موثر تھے اس کا ثبوت قدیم ترین ہندوستانی مذہبی متن، رگ وید (تقریباً 1500 قبل مسیح) کا ایک ہی متن کے طور پر محفوظ ہونا ہے، جس میں کوئی مختلف قراءتیں نہیں ہیں۔ اسی طرح کے طریقے ریاضیاتی متون کو حفظ کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے تھے، جن کی منتقلی صرف زبانی طور پر ویدک دور (تقریباً 500 قبل مسیح) کے اختتام تک ہوتی رہی۔

سوتر صنف

قدیم ہندوستان میں ریاضیاتی سرگرمی کا آغاز مقدس ویدوں پر "طریقہ کار کی عکاسی" کے ایک حصے کے طور پر ہوا، جس نے Vedāṇgas یا "ویدوں کے معاون" (ساتویں–چوتھی صدی قبل مسیح) کی شکل اختیار کی۔ مقدس متن کی آواز کو śikṣā (صوتیات) اور chhandas (عروض) کے استعمال سے محفوظ کرنے کی ضرورت؛ اس کے معنی کو vyākaraṇa (قواعدِ زبان) اور nirukta (اشتقاقیات) کے استعمال سے محفوظ کرنے کی ضرورت؛ اور صحیح وقت پر رسومات کو صحیح طریقے سے انجام دینے کے لیے kalpa (ritual) اور jyotiṣa (علم نجوم) کے استعمال کی ضرورت نے Vedāṇgas کے چھ شعبوں کو جنم دیا۔ ریاضی آخری دو شعبوں، رسومات اور فلکیات (جس میں علم نجوم بھی شامل تھا) کے ایک حصے کے طور پر ابھری۔ چونکہ Vedāṇgas قدیم ہندوستان میں تحریر کے استعمال سے فوراً پہلے کے تھے، اس لیے وہ صرف زبانی ادب کے آخری نمائندے تھے۔ انھیں انتہائی مختصر یادداشت کی شکل، sūtra (لفظی معنی، "دھاگہ") میں بیان کیا گیا تھا:

سوتر کو جاننے والے اسے کم حروف پر مشتمل، ابہام سے پاک، جوہر پر مشتمل، ہر چیز کا سامنا کرنے والا، بغیر وقفے کے اور غیر قابل اعتراض سمجھتے ہیں۔

انتہائی اختصار کو متعدد طریقوں سے حاصل کیا گیا، جن میں ایلیپسس "فطری زبان کی برداشت سے باہر" کا استعمال، طویل وضاحتی ناموں کی بجائے تکنیکی ناموں کا استعمال، فہرستوں کو صرف پہلی اور آخری اندراجات کا ذکر کر کے مختصر کرنا اور مارکرز اور متغیرات کا استعمال شامل تھا۔ سوتر یہ تاثر دیتے ہیں کہ متن کے ذریعے مواصلات "صرف پوری ہدایت کا ایک حصہ تھا۔ ہدایت کا باقی حصہ شاید گرو-شیسیہ پرامپرا، 'استاد (گرو) سے شاگرد (شیسیہ) تک بلا تعطل تسلسل' کے ذریعے منتقل کیا گیا تھا اور یہ عام عوام کے لیے کھلا نہیں تھا" اور شاید خفیہ بھی رکھا گیا تھا۔ سوتر میں حاصل کردہ اختصار کی ایک مثال بودھیان شلب سوتر (700 قبل مسیح) سے درج ذیل ہے۔

شلب سوتر میں گھریلو آگ کے چبوترے کا ڈیزائن

ویدک دور میں گھریلو آگ کے چبوترے کو رسمی طور پر مربع بنیاد پر ہونا ضروری تھا اور اس میں 21 اینٹوں کی پانچ تہوں سے بنایا جانا تھا۔ چبوترے کی تعمیر کا ایک طریقہ یہ تھا کہ مربع کے ایک طرف کو ایک ڈوری یا رسی کا استعمال کرتے ہوئے تین برابر حصوں میں تقسیم کیا جائے، پھر عرضی (یا عمودی) طرف کو سات برابر حصوں میں تقسیم کیا جائے اور اس طرح مربع کو 21 مطابق مستطیلوں میں تقسیم کیا جائے۔ اینٹوں کو پھر تشکیل دینے والے مستطیل کی شکل میں ڈیزائن کیا گیا تھا اور تہ بنائی گئی تھی۔ اگلی تہ بنانے کے لیے، اسی فارمولے کا استعمال کیا گیا تھا، لیکن اینٹوں کو عرضی طور پر ترتیب دیا گیا تھا۔ اس عمل کو پھر تین بار دہرایا گیا (متبادل سمتوں کے ساتھ) تاکہ تعمیر مکمل ہو سکے۔ بودھیان شلب سوتر میں، اس طریقہ کار کو درج ذیل الفاظ میں بیان کیا گیا ہے:

II.64. چوکور کو سات میں تقسیم کرنے کے بعد، عرضی [ڈوری] کو تین میں تقسیم کریں۔

II.65. ایک اور تہ میں [اینٹوں] کو شمال کی طرف رکھیں۔

فیلیوزاٹ کے مطابق، چبوترے کی تعمیر کرنے والے اہلکار کے پاس صرف چند اوزار اور مواد تھے: ایک ڈوری (سنسکرت، rajju، مونث)، دو کھونٹے (سنسکرت، śanku، مذکر) اور اینٹیں بنانے کے لیے مٹی (سنسکرت، iṣṭakā، مونث)۔ سوتر میں اختصار اس بات کو واضح طور پر ذکر نہ کرکے حاصل کیا گیا ہے کہ صفت "عرضی" کس چیز کو بیان کرتی ہے؛ تاہم، استعمال کی گئی (سنسکرت) صفت کی مونث شکل سے، یہ آسانی سے "ڈوری" کو بیان کرتی ہے۔ اسی طرح، دوسرے بند میں، "اینٹوں" کا واضح طور پر ذکر نہیں کیا گیا ہے، لیکن مونث جمع شکل "شمال کی طرف" سے دوبارہ اخذ کیا گیا ہے۔ آخر میں، پہلے بند میں، یہ واضح طور پر نہیں کہا گیا ہے کہ اینٹوں کی پہلی تہ مشرق-مغرب کی سمت میں ہے، لیکن یہ دوسرے بند میں "شمال کی طرف" کے واضح ذکر سے اخذ کیا گیا ہے؛ کیونکہ، اگر دونوں تہوں میں سمت ایک جیسی ہوتی تو یا تو اس کا ذکر نہیں کیا جاتا یا صرف پہلے بند میں کیا جاتا۔ یہ تمام اخذ کردہ باتیں اہلکار کے ذریعے کی جاتی ہیں جب وہ فارمولے کو اپنی یادداشت سے یاد کرتا ہے۔

تحریری روایت: نثر تفسیر

ریاضی اور دیگر دقیق علوم کی پیچیدگی میں اضافے کے ساتھ، تحریر اور حساب دونوں کی ضرورت تھی۔ نتیجتاً، بہت سے ریاضیاتی کاموں کو مسودوں میں لکھا جانے لگا جو پھر نسل در نسل نقل کیے جاتے تھے۔

آج ہندوستان میں تقریباً تیس ملین مسودات کا تخمینہ لگایا گیا ہے، جو دنیا میں کہیں بھی ہاتھ سے لکھے گئے مطالعہ کے مواد کا سب سے بڑا ذخیرہ ہے۔ ہندوستانی سائنس کی خواندہ ثقافت کم از کم پانچویں صدی قبل مسیح تک واپس جاتی ہے ... جیسا کہ میسوپوٹامیائی فال ادب اور فلکیات کے عناصر سے ظاہر ہوتا ہے جو اس وقت ہندوستان میں داخل ہوئے اور (انہیں) یقینی طور پر ... زبانی طور پر محفوظ نہیں کیا گیا تھا۔

سب سے قدیم ریاضیاتی نثر تفسیر Āryabhaṭīya (499 عیسوی میں لکھا گیا) پر تھی، جو فلکیات اور ریاضی پر ایک کام ہے۔ Āryabhaṭīya کا ریاضیاتی حصہ 33 سوتروں (شعری شکل میں) پر مشتمل تھا جن میں ریاضیاتی بیانات یا قواعد شامل تھے، لیکن بغیر کسی ثبوت کے۔ تاہم، ہیاشی کے مطابق، "اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ ان کے مصنفین نے انھیں ثابت نہیں کیا۔ یہ شاید بیان کی طرز کا معاملہ تھا۔" بھاسکر اول (600 عیسوی کے بعد) کے زمانے سے، نثر تفسیروں میں کچھ اخذ (upapatti) شامل ہونے لگے۔ بھاسکر اول کی Āryabhaṭīya پر تفسیر کی درج ذیل ساخت تھی:

• قاعدہ (سوتر) آریہ بھٹ کے شعر میں
• تفسیر بھاسکر اول کی، جس میں شامل ہیں:
  • وضاحت قاعدہ کی (اخذ اس وقت بھی کم تھے، لیکن بعد میں زیادہ عام ہو گئے)
  • مثال (uddeśaka) عام طور پر شعر میں۔
  • ترتیب (nyāsa/sthāpanā) عددی ڈیٹا کی۔
  • حل (karana) کا کام۔
  • تصدیق (pratyayakaraṇa، لفظی معنی "یقین دلانا") جواب کی۔ تیرہویں صدی تک یہ کم ہو گئے، اخذ یا ثبوت کو ترجیح دی جانے لگی۔

عام طور پر، کسی بھی ریاضیاتی موضوع کے لیے، قدیم ہندوستان میں طلبہ پہلے سوتروں کو حفظ کرتے تھے، جو، جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا ہے، "جان بوجھ کر ناکافی" تھے وضاحتی تفصیلات میں (تاکہ بنیادی ریاضیاتی قواعد کو مختصراً بیان کیا جا سکے)۔ طلبہ پھر نثر تفسیر کے موضوعات پر چاک بورڈ اور دھول بورڈ (یعنی دھول سے ڈھکے ہوئے بورڈ) پر لکھ کر (اور خاکے بنا کر) کام کرتے تھے۔ بعد کی سرگرمی، جو ریاضیاتی کام کا ایک اہم حصہ تھی، نے ریاضی دان-فلکیات دان، برہما گپتا (تقریباً ساتویں صدی عیسوی)، کو فلکیاتی حسابات کو "دھول کا کام" (سنسکرت: dhulikarman) کے طور پر بیان کرنے پر مجبور کیا۔

اعداد اور اعشاریہ عددی نظام

یہ اچھی طرح سے معلوم ہے کہ آج استعمال ہونے والا اعشاریہ مقامی قدر نظام سب سے پہلے ہندوستان میں درج کیا گیا تھا، پھر اسلامی دنیا کو منتقل ہوا اور آخر کار یورپ کو۔ شامی بشپ سیویرس سیبوخت نے ساتویں صدی عیسوی کے وسط میں ہندوستانیوں کے "نو نشانات" کے بارے میں لکھا جو اعداد کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہوتے تھے۔ تاہم، یہ واضح نہیں ہے کہ پہلا اعشاریہ مقامی قدر نظام کب، کب اور کہاں ایجاد ہوا۔

ہندوستان میں استعمال ہونے والا سب سے قدیم رسم الخط Kharoṣṭhī تھا جو شمال مغرب کی گندھارا ثقافت میں استعمال ہوتا تھا۔ یہ آرامی نژاد سمجھا جاتا ہے اور یہ چوتھی صدی قبل مسیح سے چوتھی صدی عیسوی تک استعمال ہوتا رہا۔ تقریباً اسی وقت، ایک اور رسم الخط، براہمی رسم الخط، برصغیر کے بیشتر حصوں میں ظاہر ہوا اور بعد میں جنوبی ایشیا اور جنوب مشرقی ایشیا کے بہت سے رسم الخطوں کی بنیاد بن گیا۔ دونوں رسم الخطوں میں عددی علامات اور عددی نظام تھے، جو ابتدائی طور پر مقامی قدر نظام پر مبنی نہیں تھے۔

ہندوستان اور جنوب مشرقی ایشیا میں اعشاریہ مقامی قدر اعداد کے قدیم ترین شواہد پہلی صدی عیسوی کے وسط سے ملتے ہیں۔ گجرات، ہندوستان سے ایک تانبے کی تختی 595 عیسوی کی تاریخ بیان کرتی ہے، جو اعشاریہ مقامی قدر نمائندگی میں لکھی گئی ہے، اگرچہ تختی کی صحت کے بارے میں کچھ شکوک ہیں۔ 683 عیسوی کے سالوں کو درج کرنے والے اعشاریہ اعداد بھی انڈونیشیا اور کمبوڈیا میں پتھر کے کتبوں میں ملے ہیں، جہاں ہندوستانی ثقافتی اثرات نمایاں تھے۔

قدیم متنی ذرائع بھی موجود ہیں، اگرچہ ان متون کے موجودہ مسودے بہت بعد کی تاریخ کے ہیں۔ شاید سب سے قدیم ایسا ذریعہ بدھ فلسفی واسومیترا کا کام ہے جو غالباً پہلی صدی عیسوی کا ہے۔ تاجروں کے گنتی کے گڑھوں پر بحث کرتے ہوئے، واسومیترا نے تبصرہ کیا، "جب [ایک ہی] مٹی کا گنتی کا ٹکڑا اکائیوں کی جگہ پر ہوتا ہے، تو اسے ایک کہا جاتا ہے، جب سیکڑوں کی جگہ پر ہوتا ہے، تو ایک سو۔" اگرچہ ایسے حوالے یہ ظاہر کرتے ہیں کہ اس کے قارئین کو اعشاریہ مقامی قدر نمائندگی کا علم تھا، لیکن "ان کے حوالوں کی اختصار اور ان کی تاریخوں کی ابہام، تاہم، اس تصور کی ترقی کی تاریخ کو مضبوطی سے قائم نہیں کرتے۔"

تیسری اعشاریہ نمائندگی ایک شعری ترکیب کی تکنیک میں استعمال ہوتی تھی، جسے بعد میں بھوت-سنگھیا (لفظی معنی، "اشیاء کی تعداد") کہا گیا، جو ابتدائی سنسکرت مصنفین نے تکنیکی کتابوں میں استعمال کیا۔ چونکہ بہت سے ابتدائی تکنیکی کام شعری شکل میں لکھے گئے تھے، اعداد کو اکثر قدرتی یا مذہبی دنیا کی اشیاء سے ظاہر کیا جاتا تھا جو ان کے مطابق ہوتی تھیں؛ اس نے ہر عدد کے لیے ایک سے زیادہ مطابقت کی اجازت دی اور شعری ترکیب کو آسان بنایا۔ پلوفکر کے مطابق، مثال کے طور پر، عدد 4 کو لفظ "وید" (کیونکہ یہ چار مذہبی متون ہیں)، عدد 32 کو لفظ "دانت" (کیونکہ ایک مکمل سیٹ میں 32 ہوتے ہیں) اور عدد 1 کو "چاند" (کیونکہ صرف ایک چاند ہے) سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ لہذا، وید/دانت/چاند اعشاریہ عدد 1324 کے مطابق ہوگا، کیونکہ اعداد کے ہندسوں کو دائیں سے بائیں شمار کرنے کا رواج تھا۔ اشیاء کی تعداد کا استعمال کرنے والا سب سے قدیم حوالہ 269 عیسوی کا ایک سنسکرت متن، یوانجاتک (لفظی معنی "یونانی فال بینی") ہے، جو سفوجیدھواج کا ہے، جو ایک ابتدائی (تقریباً 150 عیسوی) ہندوستانی نثر کا ایک شعری ورژن ہے جو ہیلینسٹک علم نجوم کے ایک گمشدہ کام پر مبنی ہے۔ ایسا لگتا ہے کہ تیسری صدی عیسوی کے وسط تک، ہندوستان میں فلکیاتی اور نجومی متون کے قارئین کو اعشاریہ مقامی قدر نظام سے واقفیت تھی۔

یہ قیاس کیا گیا ہے کہ ہندوستانی اعشاریہ مقامی قدر نظام چینی گنتی کے بورڈز پر استعمال ہونے والے علامات پر مبنی تھا جو پہلی صدی قبل مسیح کے وسط سے ہیں۔ پلوفکر کے مطابق،

یہ گنتی کے بورڈ، ہندوستانی گنتی کے گڑھوں کی طرح، ... ایک اعشاریہ مقامی قدر ساخت رکھتے تھے ... ہندوستانیوں نے شاید ان اعشاریہ مقامی قدر "رڈ نمبرز" کے بارے میں چینی بدھ مت کے زائرین یا دیگر مسافروں سے سیکھا ہو یا وہ اپنے ابتدائی غیر مقامی قدر نظام سے آزادانہ طور پر اس تصور کو تیار کر سکتے تھے؛ کوئی دستاویزی ثبوت زندہ نہیں ہے جو کسی بھی نتیجے کی تصدیق کر سکے۔"

بخشیلی مسودہ

ہندوستان میں موجود قدیم ترین ریاضیاتی مسودہ بخشیلی مسودہ ہے، جو شاردا رسم الخط میں "بدھسٹ ہائبرڈ سنسکرت" میں لکھا گیا ایک برچ کی چھال کا مسودہ ہے، جو آٹھویں سے بارہویں صدی عیسوی کے درمیان ہندوستانی برصغیر کے شمال مغربی علاقے میں استعمال ہوتا تھا۔ یہ مسودہ 1881 میں ایک کسان کو پشاور (اس وقت برطانوی ہند کے صوبے اور علاقے میں اور اب پاکستان میں) کے قریب بخشیلی گاؤں میں ایک پتھر کے احاطے میں کھدائی کرتے ہوئے ملا۔ مصنف نامعلوم ہے اور اب یہ آکسفورڈ یونیورسٹی کے کتب خانہ بوڈلین میں محفوظ ہے، حالیہ تاریخ کے مطابق اس مسودہ کی تاریخ 224 عیسوی سے 383 عیسوی کے درمیان ہے۔

محفوظ مسودہ کے ستر ورق ہیں، جن میں سے کچھ ٹکڑوں میں ہیں۔ اس کا ریاضیاتی مواد قواعد اور مثالیں پر مشتمل ہے، جو شعری شکل میں لکھے گئے ہیں، نیز نثر تفسیرات، جن میں مثالیں کے حل شامل ہیں۔ جن موضوعات پر بحث کی گئی ہے ان میں حساب (کسر، مربع جڑ، نفع اور نقصان، سادہ سود، تین کا قاعدہ اور regula falsi) اور الجبرا (ہم وقت خطی مساوات اور دو درجی مساوات) اور حساباتی ترتیب شامل ہیں۔ اس کے علاوہ، کچھ ہندسی مسائل (بشمول بے قاعدہ ٹھوس کے حجم کے مسائل) بھی شامل ہیں۔ بخشیلی مسودہ "صفر کے لیے نقطہ کے ساتھ اعشاریہ مقامی قدر نظام استعمال کرتا ہے۔" اس کے بہت سے مسائل 'مساوات کے مسائل' کی قسم کے ہیں جو خطی مساوات کے نظام کی طرف لے جاتے ہیں۔ ٹکڑا III-5-3v سے ایک مثال درج ذیل ہے:

ایک تاجر کے پاس سات اسوا گھوڑے ہیں، دوسرے کے پاس نو ہیا گھوڑے ہیں، اور تیسرے کے پاس دس اونٹ ہیں۔ اگر ہر ایک دو جانور دیتا ہے، ایک دوسرے کو، تو وہ اپنے جانوروں کی قدر میں برابر ہیں۔ ہر جانور کی قیمت اور ہر تاجر کے جانوروں کی کل قدر معلوم کریں۔

مثال کے ساتھ نثر تفسیر مسئلہ کو چار متغیرات میں تین (غیر معین) مساوات میں تبدیل کر کے حل کرتی ہے اور فرض کرتی ہے کہ قیمتیں تمام عددی ہیں۔

2017 میں، مسودہ کے تین نمونوں کو ریڈیو کاربن ڈیٹنگ کے ذریعے تین مختلف صدیوں سے ظاہر کیا گیا: 224 سے 383 عیسوی، 680-779 عیسوی اور 885-993 عیسوی۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ مختلف صدیوں کے ٹکڑے ایک ساتھ کیسے پیک ہوئے۔

کلاسیکی دور (400–1300)

یہ دور اکثر ہندوستانی ریاضی کا سنہری دور کہلاتا ہے۔ اس دور میں ریاضی دانوں جیسے آریہ بھٹ، وراہ مہیر، برہما گپتا، بھاسکر اول، مہاویر، آچاریہ بھاسکر، مادھو سنگم گرام اور نیلاکانتھ سومیا جی نے ریاضی کے بہت سے شعبوں کو وسیع اور واضح شکل دی۔ ان کی شراکتیں ایشیا، مشرق وسطیٰ اور آخر کار یورپ تک پھیل گئیں۔ ویدک ریاضی کے برعکس، ان کے کاموں میں فلکیاتی اور ریاضیاتی شراکتیں دونوں شامل تھیں۔ درحقیقت، اس دور کی ریاضی 'فلکیاتی سائنس' (jyotiḥśāstra) کا حصہ تھی اور تین ذیلی شعبوں پر مشتمل تھی: ریاضیاتی علوم (gaṇita یا tantra)، فال بینی (horā یا jātaka) اور فال گری (saṃhitā)۔ یہ تینہائی تقسیم وراہمہیر کی چھٹی صدی عیسوی کی تالیف—پنچاسدھانتکا (لفظی معنی پنچ، "پانچ"، سدھانت، "غور و فکر کا نتیجہ"، تاریخ 575 عام زمانہ)—پانچ ابتدائی کاموں پر مشتمل ہے، سوریہ سدھانت، رومک سدھانت، پولیسا سدھانت، وسستھ سدھانت اور پیتامہا سدھانت، جو میسوپوٹامیائی، یونانی، مصری، رومی اور ہندوستانی فلکیات کے ابتدائی کاموں کے مطابق تھے۔ جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا ہے، اہم متون سنسکرت شعر میں لکھے گئے تھے اور ان کے بعد نثر تفسیرات آتی تھیں۔

چوتھی سے چھٹی صدی

سوریہ سدھانت

اگرچہ اس کے مصنف کا نام معلوم نہیں ہے، سوریہ سدھانت (تقریباً 400 عیسوی) میں جدید مثلثیات کی جڑیں موجود ہیں۔ چونکہ اس میں بہت سے غیر ملکی الفاظ شامل ہیں، کچھ مصنفین کا خیال ہے کہ یہ میسوپوٹامیہ اور یونان کے اثرات کے تحت لکھا گیا تھا۔

اس قدیم متن میں پہلی بار درج ذیل مثلثیاتی دالہ استعمال ہوئی ہیں:

• سائن (جیا)۔
• کوسائن (کوجیا)۔
• معکوس سائن (اوٹکرام جیا)۔

بعد کے ہندوستانی ریاضی دانوں جیسے آریہ بھٹ نے اس متن کا حوالہ دیا، جبکہ بعد کے عربی اور لاطینی تراجم یورپ اور مشرق وسطیٰ میں بہت اثرانداز ہوئے۔

چھیدی کیلنڈر

یہ چھیدی کیلنڈر (594) جدید ہندی -عربی نظام عدد کا ابتدائی استعمال ہے جو اب عالمی سطح پر استعمال ہوتا ہے۔

آریہ بھٹ اول

آریہ بھٹ (476–550) نے آریہ بھٹیہ لکھا۔ انھوں نے 332 شلوکوں میں ریاضی کے اہم بنیادی اصولوں کو بیان کیا۔ اس مقالے میں شامل تھے:

• دو درجی مساوات
• مثلثیات
• پائی کی قدر، چار اعشاریہ جگہوں تک درست۔

آریہ بھٹ نے آریہ سدھانت بھی لکھا، جو اب گمشدہ ہے۔ آریہ بھٹ کی شراکتیں شامل ہیں:

مثلثیات:

(دیکھیں: آریہ بھٹ کا سائن جدول)

• مثلثیاتی دالہوں کا تعارف۔
• سائن (جیا) کو جدید رشتے کے طور پر بیان کیا کہ نصف زاویہ اور نصف وتر کے درمیان۔
• کوسائن (کوجیا) کی تعریف۔
• ورسائن (اوٹکرام جیا) کی تعریف۔
• معکوس سائن (اوٹکرام جیا) کی تعریف۔
• ان کی تقریبی عددی قدریں حساب کرنے کے طریقے دیے۔
• 0° سے 90° تک 3.75° کے وقفوں پر سائن، کوسائن اور ورسائن کی قدیم ترین جدولیں، چار اعشاریہ جگہوں تک درست۔
• مثلثیاتی فارمولا sin(n + 1)x − sin nx = sin nx − sin(n − 1)x − (1/225)sin nx۔
• کروی مثلثیات۔

حساب:

• سادہ جاری کسریں۔

الجبرا:

• ہم وقت دو درجی مساوات کے حل۔
• یک درجی مساوات کے عددی حل جدید طریقے کے برابر۔
• غیر معین خطی مساوات کا عمومی حل۔

فلکیاتی ریاضی:

• فلکیاتی مستقلات کے لیے درست حسابات، جیسے:
  • سورج گرہن۔
  • چاند گرہن۔
  • مکعب کے مجموعے کا فارمولا، جو حسابان کے بنیادی نظریہ کی ترقی میں ایک اہم قدم تھا۔

وراہمہیر

وراہ مہیر (505–587) نے پنچ سدھانت (پانچ فلکیاتی اصول) تیار کیا۔ انھوں نے مثلثیات میں اہم شراکتیں کیں، بشمول سائن اور کوسائن کی جدولیں چار اعشاریہ جگہوں تک درست اور درج ذیل فارمولے جو سائن اور کوسائن دالہوں سے متعلق ہیں:

• $\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$
• $\sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
• ${\frac {1-\cos(2x)}{2}}=\sin ^{2}(x)$

ساتویں اور آٹھویں صدی

فائل:Brahmaguptra 's theorem.svg

برہما گپتا کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ AF = FD۔

ساتویں صدی میں، دو الگ الگ شعبے، حساب (جس میں پیمائش شامل تھا) اور الجبرا، ہندوستانی ریاضی میں ابھرنے لگے۔ بعد میں ان دو شعبوں کو pāṭī-gaṇita (لفظی معنی "الگورتھم کی ریاضی") اور bīja-gaṇita (لفظی معنی "بیجوں کی ریاضی"، جہاں "بیج"—پودوں کے بیجوں کی طرح—نامعلوم کو ظاہر کرتے ہیں جو مساوات کے حل پیدا کرنے کی صلاحیت رکھتے ہیں) کہا گیا۔ برہما گپتا، اپنے فلکیاتی کام Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 عیسوی) میں، ان شعبوں کے لیے دو ابواب (12 اور 18) مختص کیے۔ باب 12، جس میں 66 سنسکرت اشعار ہیں، دو حصوں میں تقسیم تھا: "بنیادی عمل" (بشمول مکعب جڑ، کسر، تناسب اور تبادلہ) اور "عملی ریاضی" (بشمول مرکب، ریاضیاتی سلسلے، ہوائی شکلیں، اینٹوں کو جوڑنا، لکڑی کو کاٹنا اور اناج کو ڈھیر لگانا)۔ بعد کے حصے میں، انھوں نے ایک چکری چوکور کے وتروں پر اپنا مشہور نظریہ بیان کیا:

برہما گپتا کا نظریہ: اگر ایک چکری چوکور کے وتر ایک دوسرے کے عمودی ہوں، تو وتروں کے تقاطع سے کسی بھی طرف کھینچا گیا عمودی خط ہمیشہ مخالف طرف کو نصف کرتا ہے۔

باب 12 میں ایک چکری چوکور کے رقبے کا فارمولا (ہیرون کے فارمولے کا عمومی ورژن) بھی شامل تھا، نیز ناطق مثلثات (یعنی ناطق اطراف اور ناطق رقبے والے مثلثات) کی مکمل وضاحت۔

برہما گپتا کا فارمولا: ایک چکری چوکور کا رقبہ، A، جس کے اطراف کی لمبائی a, b، c, d ہیں، درج ذیل ہے:

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}},$

جہاں s، نیم محیط، درج ذیل ہے: $s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

ناطق مثلثات پر برہما گپتا کا نظریہ: ایک مثلث جس کے اطراف $a,b,c$ ناطق ہوں اور رقبہ ناطق ہو، درج ذیل شکل میں ہوگا:

$a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)$

کچھ ناطق اعداد $u,v,$ اور $w$ کے لیے۔

باب 18 میں 103 سنسکرت اشعار شامل تھے جو صفر اور منفی اعداد کے ساتھ حسابی عمل کے قواعد سے شروع ہوتے ہیں اور اس موضوع پر پہلا نظاماتی علاج سمجھا جاتا ہے۔ قواعد (جن میں $a+0=\ a$ اور $a\times 0=0$ شامل تھے) سب درست تھے، ایک استثناء کے ساتھ: ${\frac {0}{0}}=0$۔ باب کے بعد میں، انھوں نے دو درجی مساوات کا پہلا واضح (اگرچہ ابھی تک مکمل عمومی نہیں) حل دیا:

$\ ax^{2}+bx=c$

مطلق عدد کو مربع کے [کوفیشنٹ] کے چار گنا سے ضرب دیں، [درمیانی مدت] کے مربع کو جمع کریں؛ اس کا مربع جڑ، [درمیانی مدت] کو منفی کر کے، مربع کے [کوفیشنٹ] کے دوگنا سے تقسیم کریں۔

یہ درج ذیل کے برابر ہے:

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}$

باب 18 میں، برہما گپتا پیل کی مساوات کے (عدد) حل تلاش کرنے میں پیش رفت کرنے کے قابل تھے،

$\ x^{2}-Ny^{2}=1,$

جہاں $N$ ایک غیر مربع عدد ہے۔ انھوں نے یہ درج ذیل شناخت دریافت کر کے کیا:

برہما گپتا کی شناخت: $\ (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Nyy')^{2}-N(xy'+x'y)^{2}$ جو ڈائیوفانٹس کی ایک ابتدائی شناخت کا عمومی ورژن تھا: برہما گپتا نے اپنی شناخت کو درج ذیل لیما کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا:

لیما (برہما گپتا): اگر $x=x_{1},\ \ y=y_{1}\ \$ مساوات $\ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1},$ کا حل ہو اور، $x=x_{2},\ \ y=y_{2}\ \$ مساوات $\ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{2},$ کا حل ہو، تو:

$x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ \ y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ \$ مساوات $\ x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}$ کا حل ہوگا۔

انھوں نے پھر اس لیما کو پیل کی مساوات کے لامتناہی (عدد) حل پیدا کرنے کے لیے استعمال کیا، ایک حل دیے گئے اور درج ذیل نظریہ بیان کیا:

نظریہ (برہما گپتا): اگر مساوات $\ x^{2}-Ny^{2}=k$ کا عدد حل $\ k=\pm 4,\pm 2,-1$ میں سے کسی ایک کے لیے موجود ہو تو پیل کی مساوات:

$\ x^{2}-Ny^{2}=1$

کا بھی عدد حل موجود ہوگا۔

برہما گپتا نے درحقیقت نظریہ کو ثابت نہیں کیا، بلکہ اپنے طریقے کا استعمال کرتے ہوئے مثالیں حل کیں۔ انھوں نے جو پہلی مثال پیش کی وہ تھی:

مثال (برہما گپتا): ایسے اعداد $\ x,\ y\$ تلاش کریں کہ:

$\ x^{2}-92y^{2}=1$

اپنی تفسیر میں، برہما گپتا نے اضافہ کیا، "ایک سال کے اندر اس مسئلے کو حل کرنے والا شخص ریاضی دان ہے۔" انھوں نے جو حل پیش کیا وہ تھا:

$\ x=1151,\ y=120$

بھاسکر اول

بھاسکر اول (تقریباً 600–680) نے آریہ بھٹ کے کام کو اپنی کتابوں مہابھاسکاریہ، آریہ بھٹیہ-بھاشیا اور لگھو-بھاسکاریہ میں وسعت دی۔ انھوں نے تیار کیا:

• غیر معین مساوات کے حل۔
• سائن دالہ کی ناطق تقریب۔
• ایک حادہ زاویہ کے سائن کا حساب جدول کے استعمال کے بغیر، دو اعشاریہ جگہوں تک درست۔

نویں سے بارہویں صدی

ویراسین

ویراسین (8ویں صدی) راشٹرکوٹ بادشاہ اموگھوراش کے دور میں مانیاکھیٹا، کرناٹک میں ایک جین ریاضی دان تھے۔ انھوں نے دھوالا لکھا، جو جین ریاضی پر ایک تفسیر ہے، جس میں:

• اردھچھیدا کے تصور پر بحث کی گئی ہے، جس میں ایک عدد کو کتنی بار نصف کیا جا سکتا ہے اور اس عمل سے متعلق مختلف قواعد درج ہیں۔ یہ ثنائی لوگارتم سے مطابقت رکھتا ہے جب دو کی قوتوں پر لاگو کیا جاتا ہے، ویراسین نے بھی دیا:
• فروسٹم کے حجم کا اخذ ایک قسم کے لامتناہی طریقے سے۔

یہ خیال کیا جاتا ہے کہ دھوالا میں زیادہ تر ریاضیاتی مواد پچھلے مصنفین، خاص طور پر کنڈکوندا، شمکوندا، تومبولورا، سمنت بھدر اور باپدیو کے کاموں سے منسوب کیا جا سکتا ہے، جو 200 سے 600 عیسوی کے درمیان لکھے گئے تھے۔

مہاویر

مہاویر اچاریہ (تقریباً 800–870) کرناٹک سے تھے، جو راشٹرکوٹ بادشاہ اموگھوراش کے سرپرست تھے۔ انھوں نے عددی ریاضی پر ایک کتاب گنیت سار سنگریہ لکھی اور ریاضی کے مختلف موضوعات پر مقالے بھی لکھے۔ ان میں شامل ہیں:

• صفر
• مربع
• مکعب
• مربع جڑیں، مکعب جڑیں اور ان سے آگے کے سلسلے
• ہوائی ہندسہ
• ٹھوس ہندسہ
• سایوں کے ڈالنے سے متعلق مسائل
• بیضہ اور چوکور کے رقبے کے لیے اخذ کردہ فارمولے جو دائرے کے اندر ہوں۔

مہاویر نے بھی:

• منفی عدد کی مربع جڑ کے وجود سے انکار کیا۔
• ایک حسابی ترتیب کے مربعوں کا مجموعہ دیا اور بیضہ کے رقبے اور محیط کے لیے تجرباتی قواعد دیے۔
• دو درجی مساوات کو حل کیا۔
• چوتھی درجی مساوات کو حل کیا۔
• کچھ پانچویں درجی مساوات اور اعلیٰ درجے کے کثیرالاسمیوں کو حل کیا۔
• اعلیٰ درجے کی کثیرالاسمی مساوات کے عمومی حل دیے:
  • $\ ax^{n}=q$
  • $a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=p$
• غیر معین دو درجی مساوات کو حل کیا۔
• غیر معین دو درجی مساوات کو حل کیا۔
• غیر معین اعلیٰ درجے کی مساوات کو حل کیا۔

شریدھر

شریدھر (تقریباً 870–930)، جو بنگال میں رہتے تھے، نے ناو شتیکا، تری شتیکا اور پتی گنیت نامی کتابیں لکھیں۔ انھوں نے دیا:

• کرہ کے حجم کا ایک اچھا قاعدہ۔
• دو درجی مساوات کو حل کرنے کا فارمولا۔

پتی گنیت حساب اور پیمائش پر ایک کام ہے۔ یہ مختلف عملوں پر بحث کرتا ہے، بشمول:

• بنیادی عمل
• مربع اور مکعب جڑ نکالنا۔
• کسر۔
• صفر کے ساتھ عمل کے آٹھ قواعد۔
• مختلف حسابی اور ہندسی سلسلوں کے حاصل جمع کے طریقے، جو بعد کے کاموں میں معیاری حوالے بن گئے۔

منجل

آریہ بھٹ کی مساوات کو دسویں صدی میں منجل (منجل) نے وسعت دی، جنھوں نے محسوس کیا کہ اظہار

$\ \sin w'-\sin w$

کو تقریباً اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے

$\ (w'-w)\cos w$

ان کے بعد کے جانشین بھاسکر دوم نے اسے مزید وسعت دی اور اس طرح سائن کا مشتق دریافت کیا۔

آریہ بھٹ دوم

آریہ بھٹ دوم (تقریباً 920–1000) نے شریدھر پر ایک تفسیر لکھی اور ایک فلکیاتی مقالہ مہا-سدھانت۔ مہا-سدھانت کے 18 ابواب ہیں اور اس میں بحث کی گئی ہے:

• عدد ریاضی (انک گنیت)۔
• الجبرا۔
• غیر معین مساوات کے حل (کٹک)۔

شرپتی

شرپتی مشرا (1019–1066) نے سدھانت شیکھر، 19 ابواب پر مشتمل فلکیات پر ایک اہم کام اور گنیت تلک، شریدھر کے کام پر مبنی ایک نامکمل حسابی مقالہ 125 اشعار میں لکھا۔ انھوں نے بنیادی طور پر کام کیا:

• مکمل تبدل۔
• ہم وقت غیر معین خطی مساوات کا عمومی حل۔

وہ دھیکوٹیدکرن کے بھی مصنف تھے، جو 20 اشعار پر مشتمل ایک کام ہے:

• سورج گرہن۔
• چاند گرہن۔

دھرواماناسا 105 اشعار پر مشتمل ایک کام ہے:

• سیاروں کے طول البلد کا حساب۔
• گرہن۔
• سیاروں کی حرکات۔

نیمی چندر سدھانت چکرورتی

نیمی چندر سدھانت چکرورتی (تقریباً 1100) نے گوم-مت سار نامی ایک ریاضیاتی مقالہ لکھا۔

بھاسکر دوم

آچاریہ بھاسکر (1114–1185) ایک ریاضی دان-فلکیات دان تھے جنھوں نے کئی اہم مقالے لکھے، یعنی سدھانت شیرومنی، لیلاوتی، بیجگنیت، گولا ادھیہ، گریہ گنیتام اور کرن کتوہل۔ ان کی بہت سی شراکتیں بعد میں مشرق وسطیٰ اور یورپ کو منتقل ہوئیں۔ ان کی شراکتیں شامل ہیں:

حساب:

• سود کا حساب۔
• حسابی اور ہندسی ترتیب۔
• ہوائی ہندسہ۔
• ٹھوس ہندسہ۔
• شاخص کا سایہ۔
• تولیف کے حل۔
• صفر سے تقسیم کو لامتناہی ثابت کیا۔

الجبرا:

• ایک مثبت عدد کے دو مربع جڑوں کی شناخت۔
• اصم اعداد۔
• کئی نامعلوم کے حاصل ضرب کے ساتھ عمل۔
• درج ذیل کے حل:
  • دو درجی مساوات۔
  • دو درجی مساوات۔
  • چوتھی درجی مساوات۔
  • ایک سے زیادہ نامعلوم والی مساوات۔
  • ایک سے زیادہ نامعلوم والی دو درجی مساوات۔
  • پیل کی مساوات کا عمومی شکل چکراول طریقہ کا استعمال کرتے ہوئے۔
  • غیر معین دو درجی مساوات کا عمومی حل چکراول طریقہ کا استعمال کرتے ہوئے۔
  • غیر معین دو درجی مساوات۔
  • غیر معین چوتھی درجی مساوات۔
  • غیر معین اعلیٰ درجے کی کثیرالاسمی مساوات۔

ہندسہ:

• فیثاغورث کے نظریے کا ثبوت۔

حسابان:

• تفریق کا ابتدائی تصور۔
• تفریقی کوفیشنٹ کی دریافت۔
• رول کے نظریے کی ابتدائی شکل، قضیہ قدر وسطی کا ایک خاص صورت (حسابان اور تجزیہ کے سب سے اہم نظریات میں سے ایک)۔
• سائن تفاعل کا تفریق اخذ کیا اگرچہ مشتق کے تصور کو نہیں سمجھا۔
• پائی کا حساب، پانچ اعشاریہ جگہوں تک درست۔
• زمین کے سورج کے گرد چکر کی لمبائی کا حساب نو اعشاریہ جگہوں تک درست۔

مثلثیات:

• کروی مثلثات کی ترقی۔
• مثلثیاتی فارمولے:
  • $\ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$
  • $\ \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)$

قرون وسطی اور ابتدائی جدید ریاضی (1300–1800)

نویہ-نیایا

تفصیلی مضمون کے لیے نویہ-نیایا ملاحظہ کریں۔

نویہ-نیایا یا نیو-لاجیکل درشن (مکتب فکر) ہندوستانی فلسفہ کی تیرہویں صدی میں گانگیش اپادھیائے نے متھلا میں قائم کیا تھا۔ یہ کلاسیکی نیایا درشن کی ترقی تھی۔ نویہ-نیایا پر دیگر اثرات وچسپتی مشرا (900–980 عیسوی) اور ادیان (دسویں صدی کے آخر) کے کام تھے۔

گانگیش کی کتاب تتوچنتامنی ("حقیقت کا خیال-جواہر") جزوی طور پر شرہرش کے کھنڈنکھنڈکھادیہ کے جواب میں لکھی گئی تھی، جو ادویت کا دفاع تھا، جس نے نیایا کے نظریات اور زبان پر ایک مکمل تنقید پیش کی تھی۔ نویہ-نیایا نے ایک پیچیدہ زبان اور تصوراتی اسکیم تیار کی جس نے اسے منطق اور علم المعرفت میں مسائل کو اٹھانے، تجزیہ کرنے اور حل کرنے کے قابل بنایا۔ اس میں ہر شے کو نام دینا شامل ہے جس کا تجزیہ کیا جائے، نامزد شے کے لیے ایک ممتاز خصوصیت کی شناخت کرنا اور پرمانوں کا استعمال کرتے ہوئے تعریف کرنے والی خصوصیت کی مناسبیت کی تصدیق کرنا۔

کیرلا اسکول

تفصیلی مضمون کے لیے کیرلا اسکول آف ایسٹرونومی اینڈ میتھمیٹکس ملاحظہ کریں۔

کیرلا اسکول کے اساتذہ کی زنجیر

فائل:Pages from Yuktibhasa .jpg

یوکتی بھاشا کے صفحات تقریباً 1530

کیرلا اسکول کی بنیاد مادھو سنگم گرام نے کیرلا، جنوبی ہند میں رکھی تھی اور اس کے اراکین میں شامل تھے: پرمیشور، نیلاکانتھ سومیا جی، جیشٹھدیو، اچیوت پشارتی، میلپاتھور ناراین بھٹھاتیری اور اچیوت پنیکر۔ یہ چودہویں سے سولہویں صدی تک پھلا پھولا اور اسکول کی اصل دریافتیں نیلاکانتھ بھٹھاتیری (1559–1632) کے ساتھ ختم ہوئیں۔ فلکیاتی مسائل کو حل کرنے کی کوشش میں، کیرلا اسکول کے فلکیات دانوں نے آزادانہ طور پر ریاضی کے کئی اہم تصورات تخلیق کیے۔ سب سے اہم نتائج، مثلثیاتی دالہوں کے لیے سلسلہ توسیع، سنسکرت شعر میں نیلاکانتھ کی کتاب تنترسنگریہ اور اس کام پر ایک تفسیر تنترسنگریہ-واخیا میں دیے گئے ہیں، جس کے مصنف کا نام معلوم نہیں ہے۔ نظریات کو بغیر ثبوت کے بیان کیا گیا تھا، لیکن سائن، کوسائن اور معکوس ٹینجنٹ کے سلسلوں کے ثبوت ایک صدی بعد یوکتی بھاشا (تقریباً 1500–1610) میں دیے گئے، جو ملیالم میں جیشٹھدیو نے لکھا۔

ان کی ان تین اہم حسابان سلسلہ توسیعات کی دریافت—جو آئزک نیوٹن اور گوٹفریڈ ویلہم لائبنیز کے ذریعے یورپ میں حسابان کی ترقی سے کئی صدیوں پہلے تھی—ایک کامیابی تھی۔ تاہم، کیرلا اسکول نے حسابان ایجاد نہیں کیا، کیونکہ، اگرچہ وہ اہم مثلثیاتی دالہوں کے لیے ٹیلر سلسلہ توسیعات تیار کرنے کے قابل تھے، لیکن انھوں نے نہ تو مشتق یا تکامل کا کوئی نظریہ تیار کیا، نہ حسابان کے بنیادی نظریے کو۔ کیرلا اسکول کے حاصل کردہ نتائج میں شامل ہیں:

• لامتناہی ہندسی سلسلہ: ${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for }}|x|<1$
• نتیجہ کا ایک نیم-سخت ثبوت (نیچے "استقراء" کے تبصرہ کو دیکھیں): $1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}$ بڑے n کے لیے۔
• ریاضیاتی استقراء کا بدیہی استعمال، تاہم، استقرائی مفروضہ کو ثبوتوں میں تشکیل یا استعمال نہیں کیا گیا تھا۔
• تفریق اور تکامل کے خیالات کا استعمال (جو بعد میں بننے والے تھے) (ٹیلر-میکلارن) لامتناہی سلسلے sin x، cos x اور arctan x کے لیے حاصل کرنے کے لیے۔ تنترسنگریہ-واخیا سلسلے کو شعر میں دیتا ہے، جو ریاضیاتی علامت میں ترجمہ کرنے پر، اس طرح لکھا جا سکتا ہے:

$r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}y/x\leq 1.$

$r\sin x=x-x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots$

$r-\cos x=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,$

جہاں، r = 1 کے لیے، سلسلہ ان مثلثیاتی دالہوں کے لیے معیاری قوتی سلسلے میں کم ہو جاتا ہے، مثال کے طور پر:

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

اور

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

• دائرے کے قوس کی تصحیح (لمبائی کا حساب) کا استعمال ان نتائج کے ثبوت کے لیے۔ (لیبنز کا بعد کا طریقہ، مربع، یعنی دائرے کے قوس کے نیچے رقبے کا حساب، استعمال نہیں کیا گیا تھا۔)
• $\arctan x$ کے سلسلہ توسیع کا استعمال لیبنز کا فارمولا برائے π حاصل کرنے کے لیے:

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots$

• ان کے دلچسپی کے سلسلوں کے محدود مجموعے کے لیے غلطی کی ناطق تقریب۔ مثال کے طور پر، غلطی، $f_{i}(n+1)$، (n طاق اور i = 1, 2, 3) کے لیے سلسلہ:

${\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)$

${\text{where }}f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.$

• غلطی کی اصطلاح کو ہیرا پھیری کر کے $\pi$ کے لیے تیز رفتار سلسلہ حاصل کرنا:

${\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots$

• بہتر سلسلہ کا استعمال کرتے ہوئے $\pi$ کے لیے ناطق اظہار، 104348/33215، نو اعشاریہ جگہوں تک درست، یعنی 3.141592653۔
• ان نتائج کا حساب لگانے کے لیے حد کا بدیہی تصور استعمال کرنا۔
• کچھ مثلثیاتی دالہوں کا نیم-سخت (اوپر حدوں پر تبصرہ دیکھیں) طریقہ تفریق۔ تاہم، انھوں نے تفاعل کا تصور تشکیل نہیں دیا یا نمائی یا لوگارتمی دالہوں کا علم نہیں تھا۔

کیرلا اسکول کے کاموں کو پہلی بار انگریز C.M. Whish نے 1835 میں مغربی دنیا کے لیے لکھا۔ ویش کے مطابق، کیرلا کے ریاضی دانوں نے "فلوکسینز کے مکمل نظام کی بنیاد رکھی" اور یہ کام "فلوکسینل شکلوں اور سلسلوں سے بھرے ہوئے تھے جو کسی غیر ملکی ملک کے کام میں نہیں ملتے۔"

تاہم، ویش کے نتائج تقریباً مکمل طور پر نظر انداز کر دیے گئے، ایک صدی سے زیادہ عرصے تک، جب تک کہ کیرلا اسکول کی دریافتیں سی راجگوپال اور ان کے ساتھیوں کے ذریعے دوبارہ تحقیقات نہیں کی گئیں۔ ان کے کام میں یوکتی بھاشا میں arctan سلسلے کے ثبوتوں پر دو مقالے شامل ہیں، یوکتی بھاشا کے سائن اور کوسائن سلسلوں کے ثبوت پر ایک تفسیر اور دو مقالے جو تنترسنگریہ-واخیا کے arctan, sin اور cosine سلسلوں کے سنسکرت اشعار فراہم کرتے ہیں (انگریزی ترجمہ اور تفسیر کے ساتھ)۔

پرمیشور (تقریباً 1370–1460) نے بھاسکر اول، آریہ بھٹ اور بھاسکر دوم کے کاموں پر تفسیریں لکھیں۔ ان کی لیلاوتی بھاشیا، بھاسکر دوم کی لیلاوتی پر ایک تفسیر، ان کی ایک اہم دریافت پر مشتمل ہے: قضیہ قدر وسطی کا ایک ورژن۔ نیلاکانتھ سومیا جی (1444–1544) نے تنتر سنگریہ (جس نے بعد میں ایک گمنام تفسیر تنترسنگریہ-ویاخیا اور 1501 میں لکھی گئی ایک اور تفسیر یوکتی دیپیکا کو جنم دیا) لکھا۔ انھوں نے مادھو کے شراکتوں کو وسعت دی۔

چتربھانو (تقریباً 1530) سولہویں صدی کے کیرلا سے تعلق رکھنے والے ایک ریاضی دان تھے جنھوں نے دو ہم وقت الجبرائی مساوات کے 21 اقسام کے عددی حل دیے۔ یہ اقسام درج ذیل سات شکلوں کے ممکنہ جوڑے ہیں:

تجزیہ نہیں کر پایا (نامعلوم فعل "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} & x + y = a,\ x - y = b,\ xy = c, x^2 + y^2 = d, \[8pt] & x^2 - y^2 = e,\ x^3 + y^3 = f,\ x^3 - y^3 = g \end{align} }

ہر صورت کے لیے، چتربھانو نے اپنے قاعدے کی وضاحت اور جواز پیش کیا اور ایک مثال دی۔ ان کی کچھ وضاحتیں الجبرائی ہیں، جبکہ دیگر ہندسی ہیں۔ جیشٹھدیو (تقریباً 1500–1575) کیرلا اسکول کے ایک اور رکن تھے۔ ان کا اہم کام یوکتی-بھاشا (ملیالم میں لکھا گیا) تھا۔ جیشٹھدیو نے مادھو اور دیگر کیرلا اسکول کے ریاضی دانوں کے ذریعے پہلے دریافت کیے گئے زیادہ تر ریاضیاتی نظریات اور لامتناہی سلسلوں کے ثبوت پیش کیے۔

دیگر

نارائن پنڈت چودہویں صدی کے ایک ریاضی دان تھے جنھوں نے دو اہم ریاضیاتی کام لکھے، ایک حسابی مقالہ، گنیت کومدی اور ایک الجبرائی مقالہ، بیجگنیت وٹمسا۔ گنیت کومدی مکمل تبدل کے لیے ایک طریقہ تیار کرنے کے ساتھ تالیفیات کے میدان میں سب سے انقلابی کاموں میں سے ایک ہے۔ اپنی گنیت کومدی میں نارائن نے گائے اور بچھڑوں کے ایک ریوڑ پر درج ذیل مسئلہ پیش کیا:

ایک گائے ہر سال ایک بچھڑا پیدا کرتی ہے۔ اپنے چوتھے سال سے شروع ہو کر، ہر بچھڑا ہر سال کے شروع میں ایک بچھڑا پیدا کرتا ہے۔ 20 سال بعد کل کتنی گائیں اور بچھڑے ہوں گے؟

جدید ریاضیاتی زبان میں فرق مساوات میں ترجمہ کرنے پر:

N_n = N_n-1 + N_n-3 for n > 2,

ابتدائی اقدار کے ساتھ

N₀ = N₁ = N₂ = 1.

پہلے چند اصطلاحات 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... سانچہ:OEIS ہیں۔ متوالی اصطلاحات کے درمیان حد تناسب سپرگولڈن تناسب ہے۔ نارائن کو آچاریہ بھاسکر کی لیلاوتی پر ایک تفصیلی تفسیر، گنیت کومدیا (یا کرما-پدھتی) کا مصنف بھی سمجھا جاتا ہے۔

یورو سینٹرزم کے الزامات

یہ تجویز کیا گیا ہے کہ ہندوستانی ریاضی میں شراکتوں کو جدید تاریخ میں مناسب طور پر تسلیم نہیں کیا گیا ہے اور ہندوستانی ریاضی دانوں کی بہت سی دریافتیں اور ایجادات کو فی الحال ثقافتی طور پر ان کے مغربی ہم منصبوں سے منسوب کیا جاتا ہے، یورو سینٹرزم کے نتیجے میں۔ جی جی جوزف کے "ایتھنو میتھمیٹکس" پر تبصرے کے مطابق:

[ان کا کام] کلاسیکی یورو سینٹرک راستے پر اٹھائے گئے کچھ اعتراضات کو مدنظر رکھتا ہے۔ [ہندوستانی اور عربی ریاضی] کے بارے میں آگاہی بہت زیادہ امکان ہے کہ ان کی اہمیت کو یونانی ریاضی کے مقابلے میں مسترد کر دیا جائے۔ دیگر تہذیبوں — خاص طور پر چین اور ہندوستان، کی شراکتیں یا تو یونانی ذرائع سے قرض لینے والے کے طور پر سمجھی جاتی ہیں یا مرکزی ریاضی کی ترقی میں صرف معمولی شراکت کے طور پر۔ ہندوستانی اور چینی ریاضی پر زیادہ حالیہ تحقیق کے نتائج کے لیے کھلے پن کا فقدان افسوسناک ہے۔"

ریاضی کے مورخ فلورین کیجوری نے لکھا کہ وہ اور دیگر "شک کرتے ہیں کہ ڈائیوفانٹس کو الجبرائی علم کی پہلی جھلک ہندوستان سے ملی"۔ انھوں نے یہ بھی لکھا کہ "یہ یقینی ہے کہ ہندوستانی ریاضی کے کچھ حصے یونانی نژاد ہیں"۔

حال ہی میں، جیسا کہ اوپر کے حصے میں بحث کی گئی ہے، حسابان کے لامتناہی سلسلے مثلثیاتی دالہوں کے لیے (گریگوری، ٹیلر اور میکلارن کے ذریعے سترہویں صدی کے آخر میں دوبارہ دریافت کیے گئے) ہندوستان میں، کیرلا اسکول کے ریاضی دانوں کے ذریعے، دو صدیوں پہلے بیان کیے گئے تھے۔ کچھ اسکالرز نے حال ہی میں تجویز کیا ہے کہ ان نتائج کا علم کیرلا سے تجارتی راستے کے ذریعے یورپ کو تاجروں اور یسوعی مشنریوں کے ذریعے منتقل ہوا ہو سکتا ہے۔ کیرلا چین اور عرب جزیرہ نما کے ساتھ مسلسل رابطے میں تھا اور تقریباً 1500 سے، یورپ کے ساتھ۔ یہ حقیقت کہ مواصلاتی راستے موجود تھے اور تاریخ مناسب ہے یقینی طور پر ایسی منتقلی کو ایک امکان بناتی ہے۔ تاہم، منتقلی کا کوئی ثبوت نہیں ملا ہے۔ ڈیوڈ بریسوڈ کے مطابق، "کوئی ثبوت نہیں ہے کہ ہندوستانی کام سلسلوں کا علم ہندوستان سے باہر یا یہاں تک کہ کیرلا سے باہر، انیسویں صدی تک جانا جاتا تھا"۔

عرب اور ہندوستانی اسکالرز دونوں نے سترہویں صدی سے پہلے دریافتیں کیں جو اب حسابان کا حصہ سمجھی جاتی ہیں۔ تاہم، انھوں نے (جیسا کہ آئزک نیوٹن اور گوٹفریڈ ویلہم لائبنیز نے کیا) "مشتق اور تکامل کے دو متحد موضوعات کے تحت بہت سے مختلف خیالات کو جوڑنے، ان کے درمیان تعلق ظاہر کرنے اور حسابان کو ایک عظیم مسئلہ حل کرنے والے آلے میں تبدیل کرنے" کا کام نہیں کیا۔ نیوٹن اور لیبنز کی علمی کیریئرز اچھی طرح سے دستاویزی ہیں اور کوئی اشارہ نہیں ہے کہ ان کا کام ان کا اپنا نہیں تھا؛ تاہم، یہ یقینی طور پر معلوم نہیں ہے کہ نیوٹن اور لیبنز کے فوری پیشرو، "بشمول، خاص طور پر، فرما اور روبیروال، [شاید] اسلامی اور ہندوستانی ریاضی دانوں کے کچھ خیالات سے واقف ہوں جو ہم ابھی تک نہیں جانتے ہیں۔" یہ تحقیق کا ایک موجودہ علاقہ ہے، خاص طور پر سپین اور مغرب کے مسودات کے مجموعوں میں اور CNRS سمیت دیگر جگہوں پر جاری ہے۔

حوالہ جات

• Nicolas Bourbaki (1998)، Elements of the History of Mathematics، Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag, 301 pages، ISBN:978-3-540-64767-6.
• C. B. Boyer؛ U. C. Merzback (fwd. by Isaac Asimov) (1991)، History of Mathematics، New York: John Wiley and Sons, 736 pages، ISBN:978-0-471-54397-8.
• David Bressoud (2002)، "Was Calculus Invented in India?"، The College Mathematics Journal، ج 33، ص 2–13، DOI:10.2307/1558972، JSTOR:1558972.
• Johannes Bronkhorst (2001)، "Panini and Euclid: Reflections on Indian Geometry"، Journal of Indian Philosophy، Springer Netherlands، ج 29، ص 43–80، DOI:10.1023/A:1017506118885، S2CID:115779583.
• Charles Burnett (2006)، "The Semantics of Indian Numerals in Arabic, Greek and Latin"، Journal of Indian Philosophy، Springer-Netherlands، ج 34، ص 15–30، DOI:10.1007/s10781-005-8153-z، S2CID:170783929.
• David M. Burton (1997)، The History of Mathematics: An Introduction، The McGraw-Hill Companies, Inc.، ص 193–220.
• Roger Cooke (2005)، The History of Mathematics: A Brief Course، New York: Wiley-Interscience, 632 pages، ISBN:978-0-471-44459-6.
• S. G. Dani (25 جولائی 2003)، "On the Pythagorean triples in the Śulvasūtras" (PDF)، Current Science، ج 85، ص 219–224، 2003-08-04 کو اصل (PDF) سے آرکائیو کیا گیا.

• Bibhutibhusan Datta (دسمبر 1931)، "Early Literary Evidence of the Use of the Zero in India"، The American Mathematical Monthly، ج 38، ص 566–572، DOI:10.2307/2301384، JSTOR:2301384.
• Bibhutibhusan Datta؛ Avadesh Narayan Singh (1962)، History of Hindu Mathematics : A source book، Bombay: Asia Publishing House.
• Gregg De Young (1995)، "Euclidean Geometry in the Mathematical Tradition of Islamic India"، Historia Mathematica، ج 22، ص 138–153، DOI:10.1006/hmat.1995.1014.
• Kim Plofker (2007)، "mathematics, South Asian"، Encyclopaedia Britannica Online، ص 1–12، اخذ شدہ بتاریخ 2007-05-18.
• Pierre-Sylvain Filliozat (2004)، "Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature"، در Karine Chemla؛ Robert S. Cohen؛ Jürgen Renn؛ دیگر (مدیران)، History of Science, History of Text (Boston Series in the Philosophy of Science)، Dordrecht: Springer Netherlands, 254 pages, pp. 137–157، ص 360–375، DOI:10.1007/1-4020-2321-9_7، ISBN:978-1-4020-2320-0.
• David Fowler (1996)، "Binomial Coefficient Function"، The American Mathematical Monthly، ج 103، ص 1–17، DOI:10.2307/2975209، JSTOR:2975209.
• Takao Hayashi (1995)، The Bakhshali Manuscript, An ancient Indian mathematical treatise، Groningen: Egbert Forsten, 596 pages، ISBN:978-90-6980-087-5.
• Takao Hayashi (1997)، "Aryabhata's Rule and Table of Sine-Differences"، Historia Mathematica، ج 24، ص 396–406، DOI:10.1006/hmat.1997.2160.
• Takao Hayashi (2003)، "Indian Mathematics"، در Ivor Grattan-Guinness (مدیر)، Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences، Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press، ج 1، ص 118–130، ISBN:978-0-8018-7396-6.
• Takao Hayashi (2005)، "Indian Mathematics"، در Gavin Flood (مدیر)، The Blackwell Companion to Hinduism، Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360–375، ص 360–375، ISBN:978-1-4051-3251-0.
• David W. Henderson (2000)، "Square roots in the Sulba Sutras"، در Catherine A. Gorini (مدیر)، Geometry at Work: Papers in Applied Geometry، Washington DC: Mathematical Association of America Notes، ج 53، ص 39–45، ISBN:978-0-88385-164-7.
• Georges Ifrah (2000)۔ A Universal History of Numbers: From Prehistory to Computers۔ New York: Wiley۔ ISBN:0471393401
• G. G. Joseph (2000)، The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics، Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 pages، ISBN:978-0-691-00659-8.
• Victor J. Katz (1995)، "Ideas of Calculus in Islam and India"، Mathematics Magazine، ج 68، ص 163–174، DOI:10.2307/2691411، JSTOR:2691411.
• Victor J. Katz، مدیر (2007)، The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook، Princeton, NJ: Princeton University Press، ص 385–514، ISBN:978-0-691-11485-9.
• Agathe Keller (2005)، "Making diagrams speak, in Bhāskara I's commentary on the Aryabhaṭīya" (PDF)، Historia Mathematica، ج 32، ص 275–302، DOI:10.1016/j.hm.2004.09.001.
• Satynad Kichenassamy (2006)، "Baudhāyana's rule for the quadrature of the circle"، Historia Mathematica، ج 33، ص 149–183، DOI:10.1016/j.hm.2005.05.001.
• Otto Neugebauer؛ David Pingree، مدیران (1970)، The Pañcasiddhāntikā of Varāhamihira، Copenhagen{{حوالہ}}: اسلوب حوالہ 1 کا انتظام: مقام بدون ناشر (link). New edition with translation and commentary, (2 Vols.).
• David Pingree (1971)، "On the Greek Origin of the Indian Planetary Model Employing a Double Epicycle"، Journal of Historical Astronomy، ج 2، ص 80–85، Bibcode:1971JHA.....2...80P، DOI:10.1177/002182867100200202، S2CID:118053453.
• David Pingree (1973)، "The Mesopotamian Origin of Early Indian Mathematical Astronomy"، Journal of Historical Astronomy، ج 4، ص 1–12، Bibcode:1973JHA.....4....1P، DOI:10.1177/002182867300400102، S2CID:125228353.
• David Pingree، مدیر (1978)، The Yavanajātaka of Sphujidhvaja، Harvard Oriental Series 48 (2 vols.)، Edited, translated and commented by D. Pingree، Cambridge, MA{{حوالہ}}: اسلوب حوالہ 1 کا انتظام: مقام بدون ناشر (link).
• David Pingree (1988)، "Reviewed Work(s): The Fidelity of Oral Tradition and the Origins of Science by Frits Staal"، Journal of the American Oriental Society، ج 108، ص 637–638، DOI:10.2307/603154، JSTOR:603154.
• David Pingree (1992)، "Hellenophilia versus the History of Science"، Isis، ج 83، ص 554–563، Bibcode:1992Isis...83..554P، DOI:10.1086/356288، JSTOR:234257، S2CID:68570164
• David Pingree (2003)، "The logic of non-Western science: mathematical discoveries in medieval India"، Daedalus، ج 132، ص 45–54، DOI:10.1162/001152603771338779، S2CID:57559157.
• Kim Plofker (1996)، "An Example of the Secant Method of Iterative Approximation in a Fifteenth-Century Sanskrit Text"، Historia Mathematica، ج 23، ص 246–256، DOI:10.1006/hmat.1996.0026.
• Kim Plofker (2001)، "The "Error" in the Indian "Taylor Series Approximation" to the Sine"، Historia Mathematica، ج 28، ص 283–295، DOI:10.1006/hmat.2001.2331.
• K. Plofker (2007)، "Mathematics of India"، در Victor J. Katz (مدیر)، The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook، Princeton, NJ: Princeton University Press، ص 385–514، ISBN:978-0-691-11485-9.
• Kim Plofker (2009)، Mathematics in India: 500 BCE–1800 CE، Princeton, NJ: Princeton University Press، ISBN:978-0-691-12067-6.
• John F. Price (2000)، "Applied geometry of the Sulba Sutras" (PDF)، در Catherine A. Gorini (مدیر)، Geometry at Work: Papers in Applied Geometry، Washington DC: Mathematical Association of America Notes، ج 53، ص 46–58، ISBN:978-0-88385-164-7، 2007-09-27 کو اصل (PDF) سے آرکائیو کیا گیا، اخذ شدہ بتاریخ 2007-05-20.
• Ranjan Roy (1990)، "Discovery of the Series Formula for $\pi$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha"، Mathematics Magazine، ج 63، ص 291–306، DOI:10.2307/2690896، JSTOR:2690896.
• A. N. Singh (1936)، "On the Use of Series in Hindu Mathematics"، Osiris، ج 1، ص 606–628، DOI:10.1086/368443، JSTOR:301627، S2CID:144760421
• Frits Staal (1986)، "The Fidelity of Oral Tradition and the Origins of Science"، Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Letterkunde، New Series، Amsterdam: North Holland Publishing Company، ج 49.
• Frits Staal (1995)، "The Sanskrit of science"، Journal of Indian Philosophy، Springer Netherlands، ج 23، ص 73–127، DOI:10.1007/BF01062067، S2CID:170755274.
• Frits Staal (1999)، "Greek and Vedic Geometry"، Journal of Indian Philosophy، ج 27، ص 105–127، DOI:10.1023/A:1004364417713، S2CID:170894641.
• Frits Staal (2001)، "Squares and oblongs in the Veda"، Journal of Indian Philosophy، Springer Netherlands، ج 29، ص 256–272، DOI:10.1023/A:1017527129520، S2CID:170403804.
• Frits Staal (2006)، "Artificial Languages Across Sciences and Civilisations"، Journal of Indian Philosophy، Springer Netherlands، ج 34، ص 89–141، DOI:10.1007/s10781-005-8189-0، S2CID:170968871.
• John Stillwell (2004)، Mathematics and its History، Undergraduate Texts in Mathematics (2 ایڈیشن)، Springer, Berlin and New York, 568 pages، DOI:10.1007/978-1-4684-9281-1، ISBN:978-0-387-95336-6.
• George Thibaut (1984) [1875]، Mathematics in the Making in Ancient India: reprints of 'On the Sulvasutras' and 'Baudhyayana Sulva-sutra'، Calcutta and Delhi: K. P. Bagchi and Company (orig. Journal of the Asiatic Society of Bengal), 133 pages.
• B. L. van der Waerden (1983)، Geometry and Algebra in Ancient Civilisations، Berlin and New York: Springer, 223 pages، ISBN:978-0-387-12159-8
• B. L. van der Waerden (1988)، "On the Romaka-Siddhānta"، Archive for History of Exact Sciences، ج 38، ص 1–11، DOI:10.1007/BF00329976، S2CID:189788738
• B. L. van der Waerden (1988)، "Reconstruction of a Greek table of chords"، Archive for History of Exact Sciences، ج 38، ص 23–38، Bibcode:1988AHES...38...23V، DOI:10.1007/BF00329978، S2CID:189793547
• B. Van Nooten (1993)، "Binary numbers in Indian antiquity"، Journal of Indian Philosophy، Springer Netherlands، ج 21، ص 31–50، DOI:10.1007/BF01092744، S2CID:171039636
• Charles Whish (1835)، "On the Hindú Quadrature of the Circle, and the infinite Series of the proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four S'ástras, the Tantra Sangraham, Yucti Bháshá, Carana Padhati, and Sadratnamála"، Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland، ج 3، ص 509–523، DOI:10.1017/S0950473700001221، JSTOR:25581775
• Michio Yano (2006)، "Oral and Written Transmission of the Exact Sciences in Sanskrit"، Journal of Indian Philosophy، Springer Netherlands، ج 34، ص 143–160، DOI:10.1007/s10781-005-8175-6، S2CID:170679879

مزید پڑھیے

سنسکرت زبان میں ماخذی کتب

• Agathe Keller (2006)، Expounding the Mathematical Seed. Vol. 1: The Translation: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya، Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 172 pages، ISBN:978-3-7643-7291-0.
• Agathe Keller (2006)، Expounding the Mathematical Seed. Vol. 2: The Supplements: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya، Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 206 pages، ISBN:978-3-7643-7292-7.
• K. V. Sarma، مدیر (1976)، Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa with the commentary of Sūryadeva Yajvan، critically edited with Introduction and Appendices, New Delhi: Indian National Science Academy.
• S. N. Sen؛ A. K. Bag، مدیران (1983)، The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava، with Text, English Translation and Commentary, New Delhi: Indian National Science Academy.
• K. S. Shukla، مدیر (1976)، Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa with the commentary of Bhāskara I and Someśvara، critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, New Delhi: Indian National Science Academy.
• K. S. Shukla، مدیر (1988)، Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa، critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, in collaboration with K.V. Sarma, New Delhi: Indian National Science Academy.