یکلخت لکیری مساوات کا نظام

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
Sim linear 2 equations.png

دو متغیر x اور y میں دو لکیری مساوات کے نظام کی ایک مثال یہ ہے

\begin{matrix}
2 x & + & y  &= +5 \\
x    & -  & 2 y &= -5
\end{matrix}

مسلئہ متغیر کی ایسی قیمت نکالنا ہوتا ہے، جو بیک وقت دونوں مساوات کی تسکین کریں۔ ایسی قدروں کو نظام کا حل کہا جاتا ہے۔ اس مثال میں x=1, y=3 نظام کا حل ہے۔ تصویر میں دونوں مساوات کے XY پلاٹ نیلی اور سرخ خط (لکیریں) ہیں، اور جہاں یہ دو لکیریں ایک دوسرے کو کاٹتی ہیں، وہ نکتہ‭(x,y)=(1,3)‬ ہے۔

n متغیر \ \{x_{k}\} میں n لکیری مساوات کے نظام کو یوں لکھا جاتا ہے، جہاں \ a_{k,j} اور \ b_{k} دائم ہیں: 
\begin{matrix}
a_{1,1} x_1 + a_{1,2} x_2 + \cdots + a_{1,n} x_n = b_1  \\
a_{2,1} x_1 + a_{2,2} x_2 + \cdots + a_{2,n} x_n = b_2  \\
\vdots \\
a_{n,1} x_1 + a_{n,2} x_2 + \cdots + a_{n,n} x_n = b_n  
\end{matrix}
اسے یکلخت لکیری مساوات کا نظام یا مُتواقِت لکیری مساوات کا نظام کہا جاتا ہے۔ انگریزی میں اسے system of simultaneous linear equations کہا جاتا ہے۔

اس نظام کو ایک میٹرکس مساوات کے بطور لکھا جا سکتا ہے:


A X = b

جہاں

A = \left[
\begin{matrix}
a_{1,1}  & a_{1,2} &  \cdots  & a_{1,n}  \\
a_{2,1}  & a_{2,2} &  \cdots  & a_{2,n}  \\
\vdots    &   \vdots  &  \ddots & \vdots \\
a_{n,1}  & a_{n,2} &  \cdots  & a_{n,n}  \\
\end{matrix}
\right]
\,,\,
X = \left[
\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n 
\end{matrix}
\right]
\,,\,
b = \left[
\begin{matrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n 
\end{matrix}
\right]

اگر میٹرکس A کا اُلٹ ممکن ہو، تو اس نظام کے حل کو یوں لکھا جا سکتا ہے:


 X =A^{-1} b

اس صورت میں یہ واحد ممکن حل ہو گا۔ یاد رہے کہ میٹرکس کا اُلٹ اسی وقت ممکن ہوتا ہے جب میٹرکس کی تمام قطاریں (اور تمام ستون) باہمی لکیری آزاد ہوں۔

n متغیر میں m لکیری مساوات نظام[ترمیم]

n متغیر \ x_{k} میں m لکیری مساوات کے نظام کو یوں لکھا جاتا ہے، جہاں \ a_{k,j} اور \ b_{k} دائم ہیں: 
\begin{matrix}
a_{1,1} x_1 + a_{1,2} x_2 + \cdots + a_{1,n} x_n = b_1  \\
a_{2,1} x_1 + a_{2,2} x_2 + \cdots + a_{2,n} x_n = b_2  \\
\vdots \\
a_{m,1} x_1 + a_{m,2} x_2 + \cdots + a_{m,n} x_n = b_m  
\end{matrix}


تعریف:n متغیر \ \{ x_{k} \} کی وہ قیمتیں جو نظام کی تمام m مساوات کی تسکین کریں، کو نظام کا حل کہا جاتا ہے۔

  • solution = حل

تعریف: لکیری مساوات نظام کو موافق کہا جاتا ہے اگر اس نظام کا کم از کم ایک حل ممکن ہو۔ اگر کوئی حل ممکن نہ ہو، تو نظام کو ناموافق کہا جاتا ہے۔

  • consistent= موافق
  • inconsistent= ناموافق

کسی نظام کے حل کی تین صورتٰیں ہو سکتی ہیں:

  • کوئی حل ممکن نہ ہو
  • ایک اور صرف ایک حل ممکن ہو
  • لامحدود حل ممکن ہوں
Eq3planes animated.gif

مثال: نیچے مثال 1 میں دیا تین مساوات کا نظام موافق ہے۔ ہر مساوات کا پلاٹ ایک تختہ ( پلین) ہے جو تصویر میں مختلف رنگوں میں دکھایا گیا ہے۔ صرف ایک نکتہ ایسا ہے جس میں سب تینوں پلین میں ملتے ہیں۔ یہ نکتہ اس نظام کا حل ہے جو کہ اس نظام کا واحد حل ہے۔ اگر تین میں سے صرف دو مساوات کا احاطہ کیا جائے، تو تصویر میں کوئی بھی دو پلین ایک لکیر پر ملتے ہیں، یعنی دونوں مساوات موافق ہیں اور ان کے لامحدود حل ہیں۔

اب ایسے تین پلین کا تصور کرنا مشکل نہیں جو سب کسی ایک نکتہ پر نہ ملتے ہوں۔ ان پلین کی تین مساوات ناموافق ہوں گی، چونکہ ان کا کوئی حل ممکن نہ ہو گا۔


مسلئہ اثباتی[ترمیم]

ایک موافق لکیری مساوات کا نظام، جس میں متغیر کی تعداد زیادہ ہو مساوات کی تعداد سے (\ m<n)، ایسے نظام کے لامحدود حل ممکن ہوں گے۔

عمل جن سے نظام متاثر نہیں ہوتا[ترمیم]

کسی لکیری مساوات نظام پر مندرجہ ذیل عمل کرنے سے مساوات کے نظام کے حل پر کوئی فرق نہیں پڑتا:

  • ایک مساوات کو کسی دائم عدد سے ضرب دے دو
  • دو مساوات کی باہمی جگہ تبدیل کر دو
  • ایک مساوات کو کسی دائم عدد سے ضرب دینے کے بعد جو حاصل ضرب ملے، اسے کسی دوسری مساوات میں جمع کر دو

بطور افزائشی میٹرکس[ترمیم]

مساوات کے نظام کو حل کرنے کی غرض سے ان کو ایک افزائشی میٹرکس کے بطور لکھنا مفید رہتا ہے۔ افزائشی میٹرکس یوں ہو گی:

  • augmented matrix= افزائشی میٹرکس

\left[
\begin{matrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} & b_1  \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} & b_2  \\
\vdots  & \vdots  & & \vdots  & \vdots  \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} & b_m  
\end{matrix}\right]

جو عمل کرنے سے مساوات کے نظام کے حل پر کوئی فرق نہیں پڑتا، کو اب افزائشی میٹرکس کے حوالے سے یوں بولا جا سکتا ہے:

  • ایک قطار کو کسی دائم عدد سے ضرب دے دو
  • دو قطاروں کا باہمی تبادلہ کر دو
  • ایک قطار کو کسی دائم عدد سے ضرب دینے کے بعد جو حاصل ضرب قطار ملے، اسے کسی دوسری قطار میں جمع کر دو

ان عملیات کو ابتدائی قطار عملیات کہا جاتا ہے۔

  • elementary row operations = ابتدائی قطار عملیات

مساوات کے حل کی طرف جانے کے لیے افزائشی میٹرکس کو ابتدائی قطار عملیات کے زریعہ قطار در قطار ہئیت میں لے جاتے ہیں۔ تعریف: اگر میٹرکس میں مندرجہ ذیل خصوصیات ہوں، تو میٹرکس کو قطار در قطار ہئیت کہتے ہیں:

  1. اگر قطار سب صفر نہ ہو، تو قطار کا پہلا غیرصفر جُز (بائیں طرف سے) ایک (1) ہو۔ اس 1 کو "اول 1" کہتے ہیں۔
  2. اگر کچھ ایسی قطاریں ہو جو تمام صفر ہوں، تو یہ قطاریں سب سے نیچے ہوں
  3. کسی بھی دو قطاروں (جو غیر صفر ہوں) میں اوپر والی قطار کا "اول 1" نیچے والی قطار کے "اول "1 کے بائیں طرف ہونا چاہیے۔
  • row echelon form=قطار در قطار ہئیت
  • leading=اول

مثال کے طور پر میٹرکس \left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 7 & -3 \\
0 & 1 & -4 & 13 \\
0 & 0 & 1 & 11 
\end{matrix}\right]
قطار در قطار ہئیت میں ہے۔ جب میٹرکس اس ہئیت میں آ جائے تو نظام کا حل آسانی سے "الٹا تبادلہ" کے زریعہ نکالا جا سکتا ہے۔

  • back substitution=الٹا تبادلہ

اب ہم ایک مثال کے زریعے اوپر والے طریقے استعمال کرتے ہوئے لکیری مساوات کا نظام حل کر کے دیکھاتے ہیں:

مثال 1[ترمیم]

  • تیں متغیر x, y, z میں تین لکیری مساوات کے نظام

\begin{matrix}
2 x  &+& 3 y  &-&  z      &=&  4  \\
3 x  &-&  2 y  &+& 4  z  &=&  -1  \\
5 x  &+& 4 y  &-&  8 z   &=&  3  
\end{matrix}

کو افزائشی میٹرکس کے بطور لکھو \left[
\begin{matrix}
2 & 3 &  -1 & 4  \\
3 & -2 &  4 & -1  \\
5 & 4 &  -8 & 3  
\end{matrix}\right]

  • میٹرکس کی پہلی قطار کو 1/2 سے ضرب دو (تو افزائشی میٹرکس یوں ہو جائے گی)

\left[
\begin{matrix}
1 & 3/2 &  -1/2 & 2  \\
3 & -2 &  4 & -1  \\
5 & 4 &  -8 & 3  
\end{matrix}\right]

  • اوپر کی میٹرکس کی پہلی قطار کو ‭-3‬ سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے اسے دوسری قطار میں جمع کر دو

\left[
\begin{matrix}
1 & 3/2 &  -1/2 & 2  \\
0 & -13/2 &  11/2 & -7  \\
5 & 4 &  -8 & 3  
\end{matrix}\right]

  • اوپر کی میٹرکس کی پہلی قطار کو ‭-5‬ سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے اسےتیسری قطار میں جمع کر دو

\left[
\begin{matrix}
1 & 3/2 &  -1/2 & 2  \\
0 & -13/2 &  11/2 & -7  \\
0 & -7/2 &  -11/2 & -7  
\end{matrix}\right]

  • اوپر کی میٹرکس کی دوسری قطار کو ‭-2/13‬ سے ضرب دو

\left[
\begin{matrix}
1 & 3/2 &  -1/2 & 2  \\
0 & 1 &  -11/13 & 14/13  \\
0 & -7/2 &  -11/2 & -7  
\end{matrix}\right]

  • اوپر کی میٹرکس کی دوسری قطار کو 7/2 سے ضرب دے کر جو حاصل ضرب آئے اسے تیسیر قطار میں جمع کر دو

\left[
\begin{matrix}
1 & 3/2 &  -1/2 & 2  \\
0 & 1 &  -11/13 & 14/13  \\
0 & 0 &  -110/13 & -42/13  
\end{matrix}\right]

  • اوپر کی میٹرکس کی تیسری قطار کو ‭-13/110‬ سے ضرب دو

\left[
\begin{matrix}
1 & 3/2 &  -1/2 & 2  \\
0 & 1 &  -11/13 & 14/13  \\
0 & 0 &  1 & 21/55 
\end{matrix}\right]
اب یہ میٹرکس قطار در قطار ہئیت میں آ گئی ہے۔ اس میٹرکس کا نظام یوں لکھا جا سکتا ہے: 
\begin{matrix}
x &+& (3/2) y &-&  (1/2)     z       &=& 2  \\
  &   &         y &-& (11/13)  z       &=& 14/13  \\
  &   &            & &              z       &=& 21/55  
\end{matrix}

  • دیکھو کہ آخری مساوات سے ہمیں z کی قیمت معلوم ہو چکی ہے:
z = \frac{21}{55}

اب یہ قیمت ہم دوسری مساوات میں ڈال کر y کی قیمت حاصل کر لیتے ہیں:

y = \frac{11}{13} z + \frac{14}{13} = \frac{11}{13} \times \frac{21}{55}
+ \frac{14}{13} = \frac{1001}{715}

اب z اور y کی قیمتیں پہلی مساوات میں ڈال کر x کی قیمت یوں معلوم ہوتی ہے:

x = -\frac{3}{2} y + \frac{1}{2} z -2 
= -\frac{3}{2} \times \frac{1001}{715} + \frac{1}{2} \times \frac{21}{55} -2 
=\frac{143}{1573}

تو پورے لکیری مساوات نظام کا حل یوں ہؤا

(x, y, z) = 
\left(\frac{143}{1573}, \frac{1001}{715},  \frac{21}{55}\right)

یہ ابتدائی قطار عملیات استعمال کرتے ہوئے یکلخت لکیری مساوات کے نظام کو حل کرنے کا ایک مربوط طریقہ گاسین اخراج کے نام سے مشہور ہے۔

اور دیکھو[ترمیم]

بیرونی روابط[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات