Catalan number

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

کیٹیلان

Catalan

ریاضیات کے شعبہ تالیفیات میں کیٹلان عدد ایک متوالیہ تعریف کرتے ہیں، اور یہ تالیفیات میں کافی مفید ثابت ہوتے ہیں۔ nواں کیٹلان عدد C_n یوں تعریف ہوتا ہے:

C_n = \frac{1}{n} \binom{2n-2}{n-1} = \binom{2n-2}{n-1} - \binom{2n-2}{n}

تعریف:راہ: کارتیسی مستوی میں شُبیکہ نقطہ \ (x_0, y_0) سے شبیکہ نقطہ \ (x_m, y_m) راہ شبیکہ نقاط کے متوالیہ \{(x_i, y_i)\} کو کہتے ہیں، جبکہ نقاط \ (x_i, y_i) کی یہ خصوصیت ہو کہ i=0,1,\cdots, m-1 کے لیے x_{i+1}=x_i+1,\, y_{i+1}=y_i یا پھر x_{i+1}=x_i,\, y_{i+1}=y_i+1

تعریف: راہ کو اچھا کہتے ہیں اگر

y_i<x_i \, , \, i=0,1, \cdots,m
  • نقطہ \ (x_0, y_0) سے نقطہ \ (x_m, y_m) راہوں کی تعداد
\binom{(x_m-x_0)+(y_m-y_0)}{x_m-x_0} =\binom{(x_m-x_0)+(y_m-y_0)}{y_m-y_0}

ہے۔ یہ اس وجہ سے ہے کہ نقطہ \ (x_0, y_0) سے نقطہ \ (x_m, y_m) جانے تک \ (x_m-x_0)+(y_m-y_0) قدم ہیں اور ہر قدم پر آپ کو اُفقی یا عمودی طرف کا انتخاب کرنا ہے، یعنی \ (x_m-x_0)+(y_m-y_0) میں سے \ (x_m-x_0) افقی قدموں کا انتخاب، یا \ (x_m-x_0)+(y_m-y_0) میں سے \ (y_m-y_0) عمودی قدموں کا انتخاب۔

  • نقطہ \ (x_0, y_0) سے نقطہ \ (x_m, y_m) تک اچھی اور بری دونوں طرح کی راہیں موجود ہوں گی اگر
y_0 < x_0 \le y_m < x_m
  • نقطہ \ (1, 0) سے نقطہ \ (n, n-1) تک اچھی راہوں کی تعداد کیٹلاں عدد C_n کے برابر ہے۔


بیرونی روابط[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات

Catalan number