Orthogonality principle

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
یہاں جائیں: رہنمائی، تلاش کریں
اصطلاح term
مسقط
تقرب

Projection
Approximation


Projection2 dxy.png

مسقط مسئلہ اثباتی[ترمیم]

اگر X کسی اندرونی حاصل ضرب فضا D کی لکیری ذیلی فضا ہو، تو D کے کسی بھی سمتیہ d کو صرف ایک منفرد صورت میں یوں لکھا جا سکتا ہے:

جبکہ سمتیہ y "ذیلی فضا" X میں ہو، اور سمتیہ e "ذیلی فضا" X کے قائم الزاویہ ہو۔ اب سمتیہ y کو سمتیہ d کا مسقط کہا جاتا ہے۔

تصویر میں فضا میں سمتیہ d دکھایا گیا ہے۔ اس سمتیہ کا مسقط سمتیہ y ہے، جو فضا میں ہے۔ سمتیہ y لکیری جوڑ ہے، بنیاد سمتیہ x_1 اور x_2 کا:

جہاں اور عددی سر دائم ہیں۔

غور کرو کہ سمتیہ y اور سمتیہ e ایک دوسرے سے نوے درجہ کے زاویہ (قائم الزاویہ) پر ہیں۔ دراصل سمتیہ e اور مستوی x_1 x_2 آپس میں قائم الزاویہ ہیں (یعنی سمتیہ e ، مستوی x_1 x_2 میں کسی بھی سمتیہ سے نوے درجہ کا زاویہ بناتا ہے) ۔ سمتیہ e کو اکثر غلطی سمتیہ کہا جاتا ہے۔

مسلئہ اثباتی (بہترین تقرب)[ترمیم]

اگر X کسی "اندرونی حاصل ضرب فضا" D کی لکیری ذیلی فضا ہو، تو D کے کسی بھی سمتیہ d کا ذیلی فضا X میں مسقط ، سمتیہ d کا بہترین تقرب ہے، اس معنی میں کہ

جہاں x ذیلی فضا X کا کوئی بھی دوسرا سمتیہ ہے۔

یعنی مسقط کے غلطی سمتیہ کا امثولہ (لمبائی) سب سے کم ہو گا- یہ ہم پہلے ہی دیکھ چکے ہیں کہ یہ غلطی سمتیہ e قائم الزاویہ ہوتا ہے ذیلی فضا X کے (یعنی X میں تمام سمتیوں کے)۔ دوسرے الفاظ میں e اور X کے کسی بھی سمتیہ کا 'اندرونی حاصل ضرب' صفر ہو گا:

یہ قائم الزاویہ قاعدہ کہلاتا ہے۔

تصادفی[ترمیم]

دو تصادفی متغیر X اور Y کے درمیاں 'اندرونی حاصل ضرب' بذریعہ متوقع عالج E(.) کے تعریف کی جا سکتی ہے

جہاں تصادفی متغیر X اور Y کی ساجھی احتمال کثافت دالہ ہے۔ تصادفی متغیر X کا امثولہ یوں ہو گا

تصویر 1۔ مصفاہ

تخمینہ[ترمیم]

"عملیت اشارہ" میں شوری معطیات سے کسی مطلوبہ اشارہ کے تخمینہ لگانے کی ضرورت پڑتی ہے۔ تصویر 1 میں اشارہ متوالیہ کسی صورت میں اشارہ متوالیہ سے متعلق ہے۔ ہم اشارہ متوالیہ کو مصفاہ H سے گزار کر اشارہ حاصل کرتے ہیں۔ ہمارا مقصد یہ ہے کہ متوالیہ تخمینہ ہو متوالیہ کا۔ یعنی مصفاہ H اس طرح چنا جائے کہ متوالیہ اور متوالیہ کے درمیان غلطی متوالیہ کا اوسط مربع کم سے کم ہو:

تخمینہ کو عموماً لکھا جاتا ہے۔ تمام متوالیہ تصادفی ہیں، اور اوسط سے مراد متوقع قدر ہے۔ اس کے علاوہ متوالیہ تصادفی ساکن ہیں۔ مصفاہ H ایک متناہی متوالیہ سے بنا ہے۔ مصفاہ کے اخراج اور ادخال کے درمیان تلفیف کا رشتہ ہے:

جو لکیری تولیف کی صورت ہے۔ غلطی کے امثولہ کی تصغیر کے لیے ضروری ہے کہ غلطی قائم الزاویہ ہو ڈیٹا کے، یعنی

یہ قائم الزاویہ قاعدہ کہلاتا ہے۔ اس مسئلہ میں اس قاعدہ تک ہم حسابان کی مدد سے بھی پہنچ سکتے ہیں۔ ہمارا مقصد ایسے ڈھونڈنا ہے جو اس قیمت دالہ

کی تصغیر کرے۔ اس لیے ہم کا کے حوالے سے مشتق نکالتے ہیں اور اسے صفر کے برابر ٹھیراتے ہیں:

اب

چونکہ منحصر نہیں پر۔ اب کے لکیری تولیف سے بنا ہے، اس لیے

جس سے "قائم الزاویہ قاعدہ" حاصل ہوتا ہے:

اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات