اجزائے ضربی

اجزائے ضربی (factorization) ہر عدد کے جتنے صحیح قاسم ہوں ان سب کو اجزائے ضربی کہتے ہیں۔

جب ایک عدد دوسرے عدد کو پورا پورا تقسیم کر دے تو اول عدد کو دوسرے عدد کا جزو ضربی کہلاتا اور دوسرا عدد اول عدد کا ضعف کہلاتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں جب کوئی جملہ دو یا دو سے زیادہ جملوں کا حاصل ضرب ہو تو ان میں سے ہر ایک جملہ اس حاصل ضرب کا جزو ضربی کہلاتا ہے۔

عام طریقے

ہائسٹ کامن فیکٹر

ہائسٹ کامن فیکٹر یا ایچ سی ایف معلوم کر کے اسے تمام تر اجزاء کے ساتھ ضرب (ملٹی پلائی) کریں،مثلاََ:

$6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=(2x^{3}y^{2})(3)+(2x^{3}y^{2})(4xy)+(2x^{3}y^{2})(-5x^{2}y)=(2x^{3}y^{2})(3+4xy-5x^{2}y).$

گروہ بندی (گروپنگ) کے ذریعے

جب چار اجزاء ہوتے ہیں تو اس کے لیے گروہ بندی کا اصول استعمال کیا جاتا ہے، البتہ یہ طریقہ ہر جگہ کام نہیں کرتا۔گروہ بندی کا طریقہ کار یہ ہے:

ہم اس گروہ کی اجزائے ضربی کرتے ہیں: $4x^{2}+20x+3xy+15y\,$:

1. یکساں اجزاء کو گروہ بند کریں، $(4x^{2}+20x)+(3xy+15y),\,$
2. ہائسٹ کامن فیکٹر (سب سے بڑا مشترک عدد) کو قوسین سے نکالے (یعنی اس کو بطور کامن فیکٹر لیں)، $4x(x+5)+3y(x+5),\,$
3. جو دو اجزاء قوسین (بریکٹس) میں ہیں وہ ایک جیسے ہیں لہذا ان کو ایک مرتبہ لیا جائے گا اور جو دو اجزا بریکٹوں سے باہر ہیں ان کو بھی لیا جائے گا۔, $(x+5)(4x+3y).\,$

فارمولے

اجزائے ضربی کے لیے مختلف فارمولے بھی مختص ہیں جن کے ذریعے بہت سے ایکویشنوں کو حل کیا جاسکتا ہے۔

دو مربع کے درمیان تفریق

جب دو ایک مربع دوسرے مربع سے منفی ہورہاہو تو فیکٹرائزیشن کے رو سے درجہ ذیل فارمولا استعمال کیا جاتا ہے:

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),\,\!$

یہ فارمولا بہت سے حساس قسم کے فیکٹرائزیشن کے لیے کارآمد ہے مثال کے طور پر:

${\begin{aligned}a^{2}+2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}$

درج بالا ایکویشن میں سب سے پہلے پورے ایکویشن کو دو بنیادی گروہ میں بند کیا گیا یعنی $(a^{2}+2ab+b^{2})$ اور $(x^{2}-2xy+y^{2})$، ان دو اجزاء پر $(a+b)^{2}$ اور $(a-b)^{2}$ کا فارمولا لگایا گیا اس کے بعد اسے عام طریقے سے حل (سمپلیپائی) کیا گیا جیسے فیکٹرائزیشن میں کیا جاتا ہے۔

دو مکعبوں (کیوب) کو جمع کرنا

مکعب کے دو فارمولے ہیں، جب جمع ہورہا ہو تو یہ فارمولا ہے:

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}),\,\!$

اور جب منفی ہورہا ہو تو یہ فارمولا ہے:

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).\,\!$

چار ڈگری والے ٹرم

جن ٹرمز کے چار ڈگری یا پاورز ہو ان کے لیے یہ فارمولا استعمال کیا جاتا ہے:

$a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})=(a^{2}+b^{2})(a+b)(a-b).\,\!$

کسی بھی دیگر پاورز والے ایکویشن کے لیے

درج بالا فارمولے صرف ان ٹرمز کے بتائے گئے تھے جن کے پاورز یا تو 2 ہو یا 3 یا 4، لیکن اس کے علاوہ کسی اور پاور کے لیے بھی فارمولا موجود ہے، یہاں پر کسی بھی پاور کے لیے فارمولا میں n استعمال کیا گیا ہے:

منفی والا فارمولا :

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}+\ldots +b^{n-2}a+b^{n-1}).\!$

جمع ولا فارمولا:

$a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}-\ldots -b^{n-2}a+b^{n-1}).\!$

حوالہ جات

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات

 یہ ایک نامکمل مضمون ہے۔ آپ اس میں اضافہ کر کے ویکیپیڈیا کی مدد کر سکتے ہیں۔