ایقاعی اوسط

اصطلاح	term
ایقاعی اوسط	harmonic mean

ریاضیات مین ایقاعی اوسط ایک قسم ہے اوسط کی۔ مثالی، یہ ان مواقع پر موزوں ہوتا ہے جب شرح کی اوسط درکار ہو۔

مثبت حقیقی اعداد $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ کا ایقاعی اوسط H یوں تعریف کیا جاتا ہے

$H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$

اس سے واضح ہوا کہ ایقاعی اوسط اعداد کے اُلٹ کے حساباتی اوسط کا اُلٹ ہے۔ مثال کے طور پر، اعداد 1، 2، اور 4، کا ایقاعی اوسط ${\frac {1}{{\frac {1}{3}}({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})}}={\frac {12}{7}}\,$ ہے۔

ایقاعی اوسط کا ہندسی اوسط سے نسبت سمجھنے کے لیے ایقاعی اوسط کی تعریف کو یوں لکھا جا سکتا ہے:

$H={\frac {n\cdot \prod _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}x_{j}}{x_{i}}}}}$

مخصوصاً، دو اعداد a اور b کا اوسط H یوں لکھا جا سکتا ہے

$H={\frac {G^{2}}{A}}\,\,\,,\,\,\,G={\sqrt {ab}}\,\,,\,\,A={\frac {a+b}{2}}$

جہاں ان اعداد کا ھندسی اوسط G ہے، اور جساباتی اوسط A ہے۔

مثال

بعض ایسی حالتوں میں جہاں شرح اور تناسب سے واسط ہو، ایقاعی اوسط صحیح بیٹھتی ہے۔ مثلاً ایک گاڑی ایک فاصلہ 60 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے طے کرتی ہے، اور پھر اُتنا ہی فاصلہ 40 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے طے کرتی ہے، تو اس سارے سفر کے لیے اس کی اوسط رفتار 60 اور 40 کا ایقاعی اوسط یعنی 48 کلومیٹر فی گھنٹہ سمجھی جا سکتی ہے۔ یعنی اگر گاڑی سارا فاصلہ 48 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے طے کرتی تو تمام سفر میں اتنے ہی وقت میں طے ہوتا۔ البتہ اگر گاڑی ایک خاص وقت کے لیے 60 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے بھاگتی ہے، اور پھر اتنے ہی وقت کے لیے 40 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے بھاگتی ہے، تو تمام سفر کی اوسط رفتار 60 اور 40 کی حساباتی اوسط یعنی 50 کلومیٹر فی گھنٹہ ہو گی۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات