"خود مشابہ مجموعہ (مستوی میں)" کے نسخوں کے درمیان فرق

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
م Some properties of sets بجانب خود مشابہ مجموعہ (پلین میں) منتقل: the previous title was a temporary place holder
کوئی خلاصۂ ترمیم نہیں
سطر 62: سطر 62:
[[Image:decompose_self_similar.png|frame|تصویر 6]]
[[Image:decompose_self_similar.png|frame|تصویر 6]]


=== خود مشابہ مجموعہ===
== خود مشابہ مجموعہ==
ایک بند اور قابل احاطہ مجموعہ (جو کا ذیلی مجموعہ ہو) کو ''خود مشابہ'' کہا جائے گا، اگر اس مجموعہ ''S'' کو یوں لکھا جا سکے
ایک بند اور قابل احاطہ مجموعہ (جو <math>\mathbb{R}^2</math> کا ذیلی مجموعہ ہو) کو ''خود مشابہ'' کہا جائے گا، اگر اس مجموعہ ''S'' کو یوں لکھا جا سکے
:<math>S = S_1 \cup S_2 \cup \cdots \cup S_n</math>
:<math>S = S_1 \cup S_2 \cup \cdots \cup S_n</math>
جہاں <math>S_1, S_2, \cdots, S_n</math> نامتداخل مجموعات ہیں، اور ان میں سے ہر ایک بمطابق ہے ''S'' کی سکڑی ہوئی صورت کے (جہاں سکڑنے کا عدد <math>\ 0<s<1</math> ہے)۔
جہاں <math>S_1, S_2, \cdots, S_n</math> نامتداخل مجموعات ہیں، اور ان میں سے ہر ایک بمطابق ہے ''S'' کی سکڑی ہوئی صورت کے (جہاں سکڑنے کا عدد <math>\ 0<s<1</math> ہے)۔


تصویر 6 میں مجموعہ ''S'' کو چار مجموعات <math>S_1, S_2, S_3, S_4 </math> کے میل کے بطور دکھایا گیا ہے۔ یہاں سکڑنے کا عدد <math> s=\frac{1}{2} </math> ہے۔
تصویر 6 میں مجموعہ ''S'' کو چار مجموعات <math>S_1, S_2, S_3, S_4 </math> کے میل کے بطور دکھایا گیا ہے۔ یہاں سکڑنے کا عدد <math> s=\frac{1}{2} </math> ہے۔
ان ذیلی مجموعات کو سے ان [[مماثلتیہ]] کے زریعہ حاصل کیا جا سکتا ہے:
:<math>S_1=T_1(S), \, S_2=T_2(S), \, S_3=T_3(S), \, S_4=T_4(S) </math>
جہاں
:<math>T_1\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}\frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix}
</math>
:<math>T_2\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix}
</math>
:<math>T_3\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}0 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}
</math>
:<math>T_4\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}
</math>





نسخہ بمطابق 01:51، 18 مارچ 2007ء

اصطلاح term

مجموعہ
قابل احاطہ
بند
کھلا
مطابقت
گھماؤ
ترجمہ
متداخل
نامتداخل
سکڑاو
پھیلاؤ
خود مشابہ
میل

set
bounded
closed
open
congruence
rotate
translate
overlapping
non-overlapping
contraction
expansion
self-similar
union


خود مشابہ مجموعہ کی تعریف کرنے سے پہلے ہمیں کچھ ابتدائی تعاریف کی ضرورت ہے۔

ابتدائی تعاریف

ذیل میں ہم اقلیدسی فضاء کے حوالے سے کچھ تعریف سمجھاتے ہیں۔ (یاد رہے کہ یہ تعاریف اس فضا کے حوالے کے بغیر بھی کی جا سکتی ہیں۔)

قابل احاطہ مجموعہ

اقلیدسی فضا میں کسی مجموعہ کو قابل احاطہ کہا جاتا ہے اگر اس کے گرد ایک ایسا دائرہ لگانا ممکن ہو، جس میں یہ مجموعہ سما جائے (تصویر 1) ۔ اگر ایسا ممکن نہ ہو تو مجموعہ "ناقابل احاطہ" کہلائے گا۔

تصویر 2

بند مجموعہ

اقلیدسی فضا میں اگر مجموعہ کا احاطہ بھی مجموعہ میں شامل ہو تو اسے بند مجموعہ کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں مجموعہ (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔

کھلا مجموعہ

اقلیدسی فضا میں اگر مجموعہ کا احاطہ کو مجموعہ کا حصہ نہ سمجھا جائے، تو اسے کھلا مجموعہ کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں مجموعہ (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔

مجموعہ جات میں مطابقت

اگر ایک مجموعہ کو گھماء اور ترجمہ کر کے دوسرے مجموعہ میں بدلا جا سکتا ہو، تو ان دونوں مجموعہ جات کو بمطابق کہیں گے۔ تصویر 2 میں ایسے تین مجموعہ جات دکھائے گئے ہیں جو آپس میں مطابقت رکھتے ہیں۔

تصویر 3
تصویر 4

متداخل مجموعہ جات

اگر دو مجموعہ جات کا کچھ حصہ سانجھا ہو تو ان کو متداخل کہا جاتا ہے، ورنہ نامتداخل۔ مثال تصویر 3 میں متداخل مجموعات دکھائے ہیں، اور تصویر 4 میں نامتداخل مجموعات۔


تصویر 5

سکیڑ اور پھیلاؤ

اگر ایسا لکیری استحالہ ہو، جو مجموعہ کو چھوٹا یا بڑا کرتا ہو۔ اگر تو اس کو سکیڑنا کہیں گے (تصویر 5)، اور اگر تو اسے پھیلانا کہیں گے۔ تصویر 5 میں نیلے مجموعہ کو سکیڑ کر سرخ مجموعہ بنتا دکھایا گیا ہے۔

تصویر 6

خود مشابہ مجموعہ

ایک بند اور قابل احاطہ مجموعہ (جو کا ذیلی مجموعہ ہو) کو خود مشابہ کہا جائے گا، اگر اس مجموعہ S کو یوں لکھا جا سکے

جہاں تجزیہ نہیں کر پایا (PNG یا SVG کے ساتھ MathML (جدید براؤزر وغیرہ کے لیے اسے استعمال کرنے کی سفارش کی جاتی ہے): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/ur.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle S_1, S_2, \cdots, S_n} نامتداخل مجموعات ہیں، اور ان میں سے ہر ایک بمطابق ہے S کی سکڑی ہوئی صورت کے (جہاں سکڑنے کا عدد ہے)۔

تصویر 6 میں مجموعہ S کو چار مجموعات کے میل کے بطور دکھایا گیا ہے۔ یہاں سکڑنے کا عدد ہے۔ ان ذیلی مجموعات کو سے ان مماثلتیہ کے زریعہ حاصل کیا جا سکتا ہے:

جہاں

تجزیہ نہیں کر پایا (PNG یا SVG کے ساتھ MathML (جدید براؤزر وغیرہ کے لیے اسے استعمال کرنے کی سفارش کی جاتی ہے): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/ur.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle T_3\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} }



اور دیکھو

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات