خود مشابہ مجموعہ (مستوی میں)

اصطلاح	term
مجموعہ قابل احاطہ بند کھلا مطابقت گھماؤ ترجمہ متداخل نامتداخل سکڑاو پھیلاؤ خود مشابہ میل	set bounded closed open congruence rotate translate overlapping non-overlapping contraction expansion self-similar union

خود مشابہ مجموعہ کی تعریف کرنے سے پہلے ہمیں کچھ ابتدائی تعاریف کی ضرورت ہے۔

ابتدائی تعاریف

ذیل میں ہم اقلیدسی فضاء $\mathbb {R} ^{2}$ کے حوالے سے کچھ تعریف سمجھاتے ہیں۔ (یاد رہے کہ یہ تعاریف اس فضا کے حوالے کے بغیر بھی کی جا سکتی ہیں۔)

قابل احاطہ مجموعہ

اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں کسی مجموعہ کو قابل احاطہ کہا جاتا ہے اگر اس کے گرد ایک ایسا دائرہ لگانا ممکن ہو، جس میں یہ مجموعہ سما جائے (تصویر 1) ۔ اگر ایسا ممکن نہ ہو تو مجموعہ "ناقابل احاطہ" کہلائے گا۔

تصویر 2

بند مجموعہ

اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں اگر مجموعہ کا احاطہ بھی مجموعہ میں شامل ہو تو اسے بند مجموعہ کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں مجموعہ (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔

کھلا مجموعہ

اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں اگر مجموعہ کا احاطہ کو مجموعہ کا حصہ نہ سمجھا جائے، تو اسے کھلا مجموعہ کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں مجموعہ (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔

مجموعہ جات میں مطابقت

اگر ایک مجموعہ کو گھماء اور ترجمہ کر کے دوسرے مجموعہ میں بدلا جا سکتا ہو، تو ان دونوں مجموعہ جات کو بمطابق کہیں گے۔ تصویر 2 میں ایسے تین مجموعہ جات دکھائے گئے ہیں جو آپس میں مطابقت رکھتے ہیں۔

تصویر 3

تصویر 4

متداخل مجموعہ جات

اگر دو مجموعہ جات کا کچھ حصہ سانجھا ہو تو ان کو متداخل کہا جاتا ہے، ورنہ نامتداخل۔ مثال تصویر 3 میں متداخل مجموعات دکھائے ہیں، اور تصویر 4 میں نامتداخل مجموعات۔

تصویر 5

	$T\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}s&0\\0&s\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$
	$\longrightarrow$

سکیڑ اور پھیلاؤ

اگر $\ T:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ایسا لکیری استحالہ ہو، جو مجموعہ کو چھوٹا یا بڑا کرتا ہو۔ اگر $\ 0<s<1$ تو اس کو سکیڑنا کہیں گے (تصویر 5)، اور اگر $\ s>1$ تو اسے پھیلانا کہیں گے۔ تصویر 5 میں نیلے مجموعہ کو سکیڑ کر سرخ مجموعہ بنتا دکھایا گیا ہے۔

تصویر 6

خود مشابہ مجموعہ

ایک بند اور قابل احاطہ مجموعہ (جو $\mathbb {R} ^{2}$ کا ذیلی مجموعہ ہو) کو خود مشابہ کہا جائے گا، اگر اس مجموعہ S کو یوں لکھا جا سکے

$S=S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots \cup S_{n}$

جہاں $S_{1},S_{2},\cdots ,S_{n}$ نامتداخل مجموعات ہیں، اور ان میں سے ہر ایک بمطابق ہے S کی سکڑی ہوئی صورت کے (جہاں سکڑنے کا عدد $\ 0<s<1$ ہے)۔

تصویر 6 میں مجموعہ S کو چار مجموعات $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$ کے میل کے بطور دکھایا گیا ہے۔ یہاں سکڑنے کا عدد $s={\frac {1}{2}}$ ہے۔ ان ذیلی مجموعات کو سے ان مماثلتیہ کے زریعہ حاصل کیا جا سکتا ہے:

$S_{1}=T_{1}(S),\,S_{2}=T_{2}(S),\,S_{3}=T_{3}(S),\,S_{4}=T_{4}(S)$

جہاں مماثلتیہ یہ ہیں

$T_{1}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\0\end{bmatrix}}$

$T_{2}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

$T_{3}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$

$T_{4}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$

اصطلاح	term
میل غیر خالی منفرد	union non-empty unique

مسلئہ اثباتی

اگر $T_{1},T_{2},\cdots ,T_{n}$ سکڑنے والی مماثلتیہ ہوں، جن کا سکڑنے کا عدد برابر ہو، تو پھر ایک منفرد، غیر خالی، بند، اور قابل احاطہ مجموعہ S ہو گا، جبکہ

$S=T_{1}(S)\cup T_{2}(S)\cup \cdots \cup T_{n}(S)$

اور اگر مجموعات $\ T_{1}(S),T_{2}(S),\cdots ,T_{n}(S)$ نامتداخل ہوں، تو مجموعہ S خود مشابہ ہو گا۔

اور دیکھو

• میٹرکس

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات