خود مشابہ مجموعہ (مستوی میں)

اصطلاح	term
مجموعہ قابل احاطہ بند کھلا مطابقت گھماؤ ترجمہ متداخل نامتداخل سکڑاو پھیلاؤ خود مشابہ اتحاد	set bounded closed open congruence rotate translate overlapping non-overlapping contraction expansion self-similar union

خود مشابہ مجموعہ کی تعریف کرنے سے پہلے ہمیں کچھ ابتدائی تعاریف کی ضرورت ہے۔

ابتدائی تعاریف

ذیل میں ہم اقلیدسی فضاء $\mathbb {R} ^{2}$ کے حوالے سے کچھ تعریف سمجھاتے ہیں۔ (یاد رہے کہ یہ تعاریف اس فضا کے حوالے کے بغیر بھی کی جا سکتی ہیں۔)

قابل احاطہ مجموعہ

اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں کسی مجموعہ کو قابل احاطہ کہا جاتا ہے اگر اس کے گرد ایک ایسا دائرہ لگانا ممکن ہو، جس میں یہ مجموعہ سما جائے (تصویر 1) ۔ اگر ایسا ممکن نہ ہو تو مجموعہ "ناقابل احاطہ" کہلائے گا۔

تصویر 2

بند مجموعہ

اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں اگر مجموعہ کا احاطہ بھی مجموعہ میں شامل ہو تو اسے بند مجموعہ کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں مجموعہ (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔

کھلا مجموعہ

اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں اگر مجموعہ کا احاطہ کو مجموعہ کا حصہ نہ سمجھا جائے، تو اسے کھلا مجموعہ کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں مجموعہ (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔

مجموعہ جات میں مطابقت

اگر ایک مجموعہ کو گھماء اور ترجمہ کر کے دوسرے مجموعہ میں بدلا جا سکتا ہو، تو ان دونوں مجموعہ جات کو بمطابق کہیں گے۔ تصویر 2 میں ایسے تین مجموعہ جات دکھائے گئے ہیں جو آپس میں مطابقت رکھتے ہیں۔

تصویر 3

تصویر 4

متداخل مجموعہ جات

اگر دو مجموعہ جات کا کچھ حصہ سانجھا ہو تو ان کو متداخل کہا جاتا ہے، ورنہ نامتداخل۔ مثال تصویر 3 میں متداخل مجموعات دکھائے ہیں، اور تصویر 4 میں نامتداخل مجموعات۔

تصویر 5

	$T\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}s&0\\0&s\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$
	$\longrightarrow$

سکیڑ اور پھیلاؤ

اگر $\ T:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ایسا لکیری استحالہ ہو، جو مجموعہ کو چھوٹا یا بڑا کرتا ہو۔ اگر $\ 0<s<1$ تو اس کو سکیڑنا کہیں گے (تصویر 5)، اور اگر $\ s>1$ تو اسے پھیلانا کہیں گے۔ تصویر 5 میں نیلے مجموعہ کو سکیڑ کر سرخ مجموعہ بنتا دکھایا گیا ہے۔

تصویر 6

خود مشابہ مجموعہ

ایک بند اور قابل احاطہ مجموعہ (جو $\mathbb {R} ^{2}$ کا ذیلی مجموعہ ہو) کو خود مشابہ کہا جائے گا، اگر اس مجموعہ S کو یوں لکھا جا سکے

$S=S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots \cup S_{n}$

جہاں $S_{1},S_{2},\cdots ,S_{n}$ نامتداخل مجموعات ہیں، اور ان میں سے ہر ایک بمطابق ہے S کی سکڑی ہوئی صورت کے (جہاں سکڑنے کا عدد $\ 0<s<1$ ہے)۔ یہاں علامت $\cup$ اتحاد کے لیے استعمال ہوئ ہے۔

تصویر 6 میں مجموعہ S کو چار مجموعات $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$ کے اتحاد کے بطور دکھایا گیا ہے۔ یہاں سکڑنے کا عدد $s={\frac {1}{2}}$ ہے۔ ان ذیلی مجموعات کو سے ان مماثلتیہ کے زریعہ حاصل کیا جا سکتا ہے:

$S_{1}=T_{1}(S),\,S_{2}=T_{2}(S),\,S_{3}=T_{3}(S),\,S_{4}=T_{4}(S)$

جہاں مماثلتیہ یہ ہیں

$T_{1}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\0\end{bmatrix}}$

$T_{2}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

$T_{3}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$

$T_{4}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$

اصطلاح	term
اتحاد غیر خالی منفرد ایکی مربع خود مشابہ	union non-empty unique unit square self-similar

تصویر 7

تصویر 8

تصویر 9. سیرپنسکی (Sierpinski) تکون

تصویر 10

مثال

اگر نیچے دی تین مماثلتیہ ایکی مربع پر استعمال کی جائیں،

$T_{1}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

$T_{2}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\0\end{bmatrix}}$

$T_{3}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$

تو تین نامتداخل مربع $\ T_{1}(U),T_{2}(U),T_{3}(U)$ بنتے ہیں (تصویر 7) ۔ اب ان تین مربع پر (علیحدہ علیحدہ) یہ تین مماثلتیہ استعمال کیے جائیں، تو تصویر 8 حاصل ہو گی۔ اسی طرح یہ عمل جاری رکھا جائے تو تصویر 9 حاصل ہوتی ہے، جو کہ مشہور سیرپنسکی تکون ہے۔ (تصویر 9 میں سیرپنسکی تکون سفید رنگ میں دکھائ ہے۔)

غور کرو کہ تصویر 7 میں مربع U اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{2}$ (پلین) میں ہے، اس لیے اس کا بُعد 2 ہے۔ اس مربع کا رقبہ 1 ہے۔ مماثلتیہ کے استعمال کے بعد جو تین مربع کا خاکہ بنتا ہے (نیلے) اس کا کل رقبہ ${\frac {3}{4}}$ ہے۔ ہر نیلے مربع پر مماثلتیہ کے استعمال سے تصویر 8 ملتی ہے، اور اب ہمارے خاکہ کا رقبہ $\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}$ ہے۔ مماثلتیہ کے n بار استعمال کے بعد بننے والے خاکہ کا رقبہ $\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}$ ہو گا، اور

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}=0$

یعنی تصویر 9 میں خاکہ (سیرپنسکی تکون، سفید رنگ میں) کا رقبہ صفر (0) ہو گا۔ یاد رہے کہ ایک لکیر، جس کا بُعد 1 ہوتا ہے، کا رقبہ صفر ہوتا ہے۔ اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ سیرپنسکی تکون کا بُعد 1 ہے۔ اگرچہ سیرپنسکی تکون $\mathbb {R} ^{2}$ میں نظر آتی ہے، مگر اس میں سوراخ اتنے ہیں کہ یہ ایک لکیر کی ماند ہے (جس کا بُعد 1 ہوتا ہے)۔ سیرپنسکی تکون ایک فریکٹل ہے۔

یہاں یہ واضح کر دیں کہ تصویر 9 ایک حد تک تفصیل میں دکھائی جا سکتی ہے۔ بہت چھوٹی تفصیل واضح ہونا تصویر میں ممکن نہیں۔

یہ واضح کرنے کے لیے کہ شیرپنسکی تکون، "خود مشابہ مجموعہ" کی تعریف پر پورا اترتی ہے، ہم نے تصویر 10 مین جان بوجھ کر اسے تین حصوں $S_{1},S_{2},S_{3}$ میں بانٹ کر دکھایا ہے، اس طرح کہ ہر حصہ بڑے سیرپنسکی تکون S (تصویر 9) پر ایک مماثلتیہ $T_{1},T_{2},T_{3}$ کے عمل سے بنا ہے، اور

$S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}$

یاد رہے کہ ان تین حصوں $S_{1},S_{2},S_{3}$ میں سے ہر حصہ بھی "خود مشابہ" ہے، اور یہ بات ان حصوں کے اسطرح مذید حصے کرنے پر بھی برحق ہے (کیونکہ سیرپنسکی تکون ایک فریکٹل ہے)۔

مسلئہ اثباتی

اگر $T_{1},T_{2},\cdots ,T_{n}$ سکڑنے والی مماثلتیہ ہوں، جن کا سکڑنے کا عدد برابر ہو، تو پھر ایک منفرد، غیر خالی، بند، اور قابل احاطہ مجموعہ S ہو گا، جبکہ

$S=T_{1}(S)\cup T_{2}(S)\cup \cdots \cup T_{n}(S)$

اور اگر مجموعات $\ T_{1}(S),T_{2}(S),\cdots ,T_{n}(S)$ نامتداخل ہوں، تو مجموعہ S خود مشابہ ہو گا۔

یہ مسلئہ اثباتی اس مجموعہ کو نکالنے کا کوئ طریقہ نہیں بتاتا۔ اگر مسلئہ اثباتی کی عبارت کے مطابق $T_{1},T_{2},\cdots ,T_{n}$ مماثلتیہ ہوں اور ایک "خود مشابہ مجموعہ" S کو جنم دیتے ہوں، تو یہ مجموعہ نکالنے کے لیے ایک تصادفی الخوارزم نیچے دیا ہے:

1. پلین میں ایک نکتہ $\ (x,y)$ چنو
2. ایک تصادفی تجربہ سے تصادفی متغیر جنم دو، جس کی قدر 1 سے n تک ہو۔ فرض کرو کہ قدر j آتی ہے۔
3. اب مماثلتیہ $T_{j}$ چنو، اور نکتہ $\ (x,y)$ کو اس میں سے گزار کر نیا نکتہ حاصل کرو۔ اس نئے نکتہ کو پلاٹ کر دو۔ (یہ نکتہ مجموعہ S کا حصہ ہے۔)
4. اس نئے نکتہ $\ (x,y)$ کو لے کر، سیڑھی 2 پر جا کر یہ طریقہ دہراتے رہو (جبتک تصویر نکھر آئے۔)

اور دیکھو

• میٹرکس

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات