کیلے ہمیلٹن مسلئہ اثباتی

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
  • Cayley-Hamilton theorem

اگر \ p(\lambda) مربع میٹرکس \ A کا "ویژہ کثیر رقمی" ہے، تو \ n \times n میٹرکس \ A کی ویژہ قیمت \ \lambda کے لیے، "ویژہ کثیر رقمی" کی تعریف کی رُو سے

\ p(\lambda) = \det(A-\lambda I)= 
a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_{1} \lambda + a_0=
0

اس مسلئہ اثباتی کے مطابق مربع میٹرکس خود اپنے کثیر رقمی کی تسکین کرتی ہے:

\ p(A) = 0

a_n A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_{1} A + a_0 I_n 
= 0

مثال[ترمیم]

A = \left[\begin{matrix}
1  & 3 \\
2  & 4
\end{matrix}\right]

 p(\lambda) = \det(A-\lambda I) = \left|\begin{matrix}
1-\lambda  & 3 \\
2  & 4-\lambda
\end{matrix}\right| = \lambda^2 - 5 \lambda - 2

A^2 = \left[\begin{matrix}
1  & 3 \\
2  & 4
\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}
1  & 3 \\
2  & 4
\end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
7  & 15 \\
10  & 22
\end{matrix}\right]

5 A = \left[\begin{matrix}
5    & 15 \\
10  & 20
\end{matrix}\right]

2 I_2 = \left[\begin{matrix}
2    & 0 \\
0  & 2
\end{matrix}\right]

\  A^2 - 5 A -2 I_2 = 0

اس مسلئہ اثباتی کی مدد سے میٹرکس شمارنگی میں آسانی پیدا کی جا سکتی ہے، مثلاً چونکہ \  A^2 = 5 A  + 2 I_2  اس لیے \  A^4 = A^2 A^2 =  (5 A  + 2 I_2)^2 = 25A^2 + 4 I_2 + 10 A
= 25 (5A + 2I_2) + 10 A + 4 I_2 = 135 A + 54 I_2

اور دیکھو[ترمیم]


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات