آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
ایسی لکیری فضا جہاں اندرونی حاصل ضرب تعریف ہوا ہو، میں دو سمتیوں
u
{\displaystyle \ u}
v
{\displaystyle \ v}
d
(
u
,
v
)
{\displaystyle \ d(u,v)}
d
(
u
,
v
)
=
‖
u
−
v
‖
{\displaystyle d(u,v)=\|u-v\|}
جہاں
‖
.
‖
{\displaystyle \|.\|}
امثولہ کو ظاہر کرتا ہے۔
[ ترمیم ] اقلیدسی فضا
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
u
=
[
u
0
u
1
⋮
u
n
−
1
]
{\displaystyle \mathbf {u} =\left[{\begin{matrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{n-1}\end{matrix}}\right]}
v
=
[
v
0
v
1
⋮
v
n
−
1
]
{\displaystyle \mathbf {v} =\left[{\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{matrix}}\right]}
اندرونی حاصل ضرب " کی مقبول تعریف استعمال کرتے ہوئے):
d
(
u
,
v
)
=
(
u
0
−
v
0
)
2
+
(
u
1
−
v
1
)
2
+
⋯
+
(
u
n
−
1
−
v
n
−
1
)
2
{\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\sqrt {{(u_{0}-v_{0})}^{2}+{(u_{1}-v_{1})}^{2}+\cdots +{(u_{n-1}-v_{n-1})}^{2}}}}
دیکھو کہ یہ اقلیدسی ہندسہ میں دو نکتوں کے درمیان فاصلے کی تعریف ہے۔ غور کرو کہ فضا پر "اندرونی حاصل ضرب " کی تعریف بدلنے سے "فاصلے" کی تعریف بھی مختلف ہو گی۔
اقلیدسی ہندسہ سے فاصلے کی جن خصوصیات سے پم واقف ہیں، فاصلہ کی تعریف ان پر پورا اترتی ہے۔ یہ خصوصیات یوں ہیں (یہاں
u
{\displaystyle \ u}
v
{\displaystyle \ v}
w
{\displaystyle \ w}
لکیری فضا میں سمتیہ ہیں) :
d
(
u
,
v
)
≥
0
{\displaystyle \ d(u,v)\geq 0}
d
(
u
,
v
)
=
0
{\displaystyle \ d(u,v)=0}
اگر بشرطِ اگر
u
=
v
{\displaystyle u=v}
d
(
u
,
v
)
=
d
(
v
,
u
)
{\displaystyle \ d(u,v)=d(v,u)}
d
(
u
,
v
)
≤
d
(
u
,
w
)
+
d
(
w
,
v
)
{\displaystyle \ d(u,v)\leq d(u,w)+d(w,v)}
E=mc2 اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے ریاضی علامات
![{\displaystyle \mathbf {u} =\left[{\begin{matrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{n-1}\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7979838a30debfcc4f08509bc160e07af4b422)
![{\displaystyle \mathbf {v} =\left[{\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ec0b66ead11ed07c9a79ed69e71ff2067d349d)
