احتمال (احتمال نظریہ)

اصطلاح	term
احتمال	probability

نمونہ فضا اور تجربہ کے تناظر میں، احتمال نظریہ میں، ہر واقعہ سے ایک عدد نتھی کر دیا جاتا ہے، جو اس واقعہ کا احتمال کہلاتا ہے، اور یہ عدد اس واقعہ کے رونما ہونے کے امکان کو ظاہر کرتا ہے۔ واقعہ $E$ کے احتمال کو $\ \Pr(E)$ لکھا جاتا ہے۔

احتمال مسلمات

احتمال کے لیے نیچے دیے مسلمات (بنیادی اصول) بورے ہونا ضروری ہوتے ہیں:

1. کسی واقعہ E کے لیے، اس کا احتمال منفی نہیں ہو سکتا، $\ \Pr(E)>0$
2. نمونہ فضاء S کا احتمال یک ہوتا ہے، $\ \Pr(S)=1$
3. اگر $E_1, E_2, \cdots, E_n$ باہمی ناشمول واقعات ہوں، تو ان واقعات کے اتحاد سے بننے والے واقعہ

$\ E= E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_n$

کا احتمال، باہمی ناشمول واقعات کی جمع ہو گا

$\ \Pr(E) = \sum_{i=1}^{n} \Pr(E_i)$

اگر باہمی ناشمول واقعات کی تعداد لامحدود ہو، تب بھی

$\ \Pr(E_1 \cup E_2 \cup \cdots ) = \sum_{i=1}^{\infty} \Pr(E_i)$

احتمال کی خصوصیات

• واقعہ $E$ کے پراؤ $\bar{E}$ کا احتمال یوں ہوتا ہے،

$\ \Pr(\bar{E}) = 1 - \Pr(E)$

• اگر دو واقعات $E_1$ اور $E_2$ باہمی ناشمول ہوں، تو ان کے تقاطع واقعہ کا احتمال صفر ہو گا (کیونکہ تقاطع عدیمہ ہو گا)

$\ \Pr(E_1 \cap E_2) = 0$

• کسی بھی دو واقعات $E_1$ اور $E_2$ کے لیےان کے اتحاد واقعہ کا احتمال یوں ہو گا

$\ \Pr(E_1 \cup E_2) = \Pr(E_1) + \Pr(E_2) - \Pr(E_1 \cap E_2)$

• اسی طرح کسی بھی تین واقعات $E_2$، $E_1$، اور $E_3$ کے لیےان کے اتحاد واقعہ کا احتمال یوں ہو گا

$\begin{matrix} \Pr(E_1 \cup E_2 \cup E_3) =& \Pr(E_1) &+ \Pr(E_2) &+ \Pr(E_3) \\ & - \Pr(E_1 \cap E_2) &- \Pr(E_1 \cap E_3) &- \Pr(E_2 \cap E_3) \\ & + \Pr(E_1 \cap E_2 \cap E_3) & & \end{matrix}$

احتمال کا مرحلہ وار تعین

جب ممکنہ نتائج (سادہ واقعات) کی تعداد زیادہ ہو، تو بہت سے مرکب وقعات ہوں گے۔ ان واقعات کو احتمال تفویض کرنے کا آسان طریقہ، جبکہ احتمال مسلمات اور خصوصیات کی خلاف ورزی نہ ہوتی ہو، یہ ہے کہ پہلے تمام سادہ واقعات $E_i$ کو یوں احتمال تفویض کیا جائے کہ ان نسبتوں کی تسکین ہو:

$\ \Pr(E_i)>0 \,,\,\, \sum_{i} \Pr(E_i) = 1$

پھر مرکب واقعہ A کا احتمال اس میں موجود سادہ واقعات $E_i$ کے احتمال کو جمع کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے:

$\ \Pr(A) = \sum_{\hbox{all} E_i \hbox{in} A} \Pr(E_i)$

برابر امکانی نتائج

اصطلاح	term
برابر امکانی	equally likely

بہت سے تجربات ایسے ہوتے ہیں جن میں N نتائج کو برابر احتمال تفویض کرنا صحیح معلوم ہوتا ہے۔ مثلاً طاس کو اچھالنے کا تجربہ۔ اس صورت میں ہر نتیجہ کا احتمال p سمجھا جائے تو

$1 = \sum_{i=1}^{N} \Pr(E_i) = \sum_{i=1}^{N} p = Np$

اس لیے

$p = \frac{1}{N}$

اب اگر کسی واقعہ A" میں نتائج کی تعداد کو$\ N(A)$ لکھا جائے تو، واقعہ A کا احتمال یوں ہو گا

$\ \Pr(A) = \sum_{\hbox{all} E_i \hbox{in} A} \Pr(E_i) = \sum_{\hbox{all} E_i \hbox{in} A} \frac{1}{N} = \frac{N(A)}{N}$

یعنی احتمال ایک کسر کے طور لکھا جا سکتا ہے، جس کا Numerator واقعہ A میں نتائج کی تعداد ہے، اور Denominator نمونہ فضاء کے تمام نتائج کی تعداد۔

تعدد اور احتمال

اصطلاح	term
تعدد تصادفی	frequency random

2001ء میں شہر ٹورانٹو کی آبادی میں 62.23 فیصد تعداد گوروں کی ہے، 10.6 فیصد چینی، 10.3 فیصد جنوب ایشائی، 8.3 فیصد کالے، اور باقی متفرق۔ ہم اس واقعہ کا احتمال مقرر کرنا چاہتے ہیں، کہ اگر اس آبادی میں سے کوئی شخص تصادفی طور پر چنا جائے، تو اس کا کیا احتمال ہے کہ گورا ہو گا/گی۔ اب یہ موزوں معلوم ہوتا ہے کہ چنے جانے والے شخص کے رنگ و نسل کے لیے ہم تعدد کے حساب سے احتمال مقرر کر دیں، یعنی $\begin{matrix} \Pr(\hbox{White}) &=& 0.6223 \\ \Pr(\hbox{Chinese}) &=& 0.106 \\ \Pr(\hbox{South Asian}) &=& 0.103 \\ \Pr(\hbox{Black}) &=& 0.083 \\ \Pr(\hbox{Others}) &=& 0.0857 \end{matrix}$

اور دیکھو

• مشروط احتمال
• کثیر اعداد کا قانون
• نظریۂ احتمال

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات