مختلط عدد

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

مختلط عدد
حقیقی عدد

complex number
real number

کسی عدد کو اپنے آپ سے ضرب دے کر اس کا مربع نکالا جا سکتا ہے۔ مثلاً \ 7\times 7 = 49 ۔ اسی طرح کسی عدد کا جزر المربع بھی نکالا جا سکتا ہے، مثلاً  \sqrt{49}=7 ۔ اسی طرح  \sqrt{1}=1، چونکہ \  1 \times 1 =1 ، مگر  \sqrt{-1}=? ۔ یعنی ایک منفی عدد کا جزر المربع کیا ہو؟ اس کا حل نکالنے کیلئے ریاضی دانوں نے "تخیلی عدد" بتائے ہیں۔ اس کیلئے \  -1 \, کے جزر المربع کو ایک خاص علامت \  \iota  دی گئی ہے، یعنی \sqrt{-1}=\iota ۔ اسی طرح  \sqrt{-49}=7\iota ۔ ایسے عدد جن کے ساتھ \  \iota لکھا جاتا ہے، "تخیلی عدد" کہلاتے ہیں، مثلاً \ 7\iota\, ۔ اسی طرح عام اعداد کو "حقیقی عدد" کہا جاتا ہے، مثلاً 7۔ ایسا عدد جو "حقیقی عدد" اور "تخیلی عدد" کے مجموعہ سے بنے، کو "مختلط عدد" کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر \  6+7\iota\, اور \  6-7\iota\, مختلط عدد ہیں۔ مختلط اعداد پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے حسابی عمل کیے جا سکتے ہیں. دو مختلط اعداد \ a+b\iota  اور \ c+d\iota  کی جمع اور تفریق:



\  (a + b \iota)  +  (c + d \iota)  = (a+c)  + (b+d)\iota   \,


\  (a + b \iota)  -  (c + d \iota)  = (a-c)  + (b-d)\iota   \,

اسی طرح ضرب اور تقسیم، الجبرا کے عام اصولوں کے مطابق (یاد رہے کہ، \   \iota^2=-1 )



\  (a + b \iota)  (c + d \iota)  = (ac-bd)  + (ad+bc)\iota  \,



\frac{a + b \iota} {c + d \iota} = \frac{(a + b \iota) (c - d \iota)} {(c + d \iota) (c - d \iota)} = \frac{(ac+bd) }{c^2+d^2}+ \frac{(bc-ad) \iota    }{c^2+d^2}    \,
چونکہ مختلط اعداد پر جمع، تفریق، ضرب، اور تقسیم کے عمل کیے جا سکتے ہیں، اس لیے مختلط اعداد ایک مختلط میدان بناتے ہیں، جسے \mathbb{C}\, کی علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

مستطیل اور قطبی صورت[ترمیم]

Cplane3.png

مختلط عدد \ a+b  \iota  کو مستطیل مستوی میں اس طرح دکھایا جاتا ہے، حقیقی عدد افقی جانب اور تخیلی عدد عمودی جانب۔ یعنی مستطیل مستوی میں کوئی بھی نکتہ ایک مختلط عدد سمجھا جا سکتا ہے۔ پلین کے مبدا سے اس نکتہ کو جوڑنے والی لکیر کو اکثر سمتیہ کہتے ہیں۔ اس لکیر کی لمبائی \ r ہے اور اس کا دائیں افقی جانب سے زاویہ \theta\, ہے۔ ان پیمائیشوں کے درمیان رشتہ داری فیثاغورث کے اصول استعمال کرتے ہوئے یوں بیان کی جا سکتی ہے:


r = \sqrt{ a^2 + b^2}  \; ,\;\;\;  \theta=\tan^{-1}\left(   \frac{b}{a}  \right)

\  a=r \cos(\theta)\;,\;\;\;    b=r \sin(\theta)

ہم  r \angle{\theta}  کو مختلط عدد کی قطبی صورت کہتے ہیں، جبکہ \  a+ b  \iota  کو مستطیل صورت۔

اب \  \exp(x) \, کے سلسلہ کے استعمال سے یہ آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ

 
\   e^{\iota\theta} = \cos(\theta) + \iota \sin(\theta)

اس کے استعمال سے ہم مختلط عدد کی مستطیل اور قطبی صورت کے رشتہ کو مساوات کی شکل میں یوں لکھ سکتے ہیں:


\  a + \iota b = r \cos(\theta) + \iota r \sin(\theta)  = r  (\cos(\theta) + \iota \sin(\theta)  ) = r e^{\iota \theta}

یعنی \  a + b \iota = r \exp(\iota \theta)  \,

قطبی صورت میں مختلط عدد کی ضرب اور تقسیم نسبتاً زیادہ آسان ہے:


\  (r_1 \exp(\iota \theta_1)) (r_2 \exp(\iota \theta_2)) = r_1 r_2 \exp(\iota (\theta_1+\theta_2))

\frac{r_1 \exp(\iota \theta_1)}{r_2 \exp(\iota \theta_2)} = \left( \frac{r_1}{ r_2} \right) \exp(\iota (\theta_1 -\theta_2))

مختلط عدد \ z=a+\iota b = r e^{\iota \theta} اور مختلط عدد \ \bar{z}=a-\iota b = r e^{-\iota \theta} کو ایک دوسرے کا conjugate کہا جاتا ہے۔ غور کرو کہ ان دونوں کی لمبائی برابر ہے اور یہ افقی طرف سے ایک دوسرے کا عکس ہیں۔

مختلط عدد \ z= r e^{\iota \theta} کی لمبائی کو عموماً \ |z|= r لکھا جاتا ہے اور اس کے زاویہ کو \ arg(z)= \theta لکھا جاتا ہے۔

عدد ایک 1 کے جزر[ترمیم]

مساوات \  x^n-1 کے \  n جزر یوں لکھے جا سکتے ہیں:  x= \sqrt[n]{1}  = \exp(\iota \pi 2 k/n) \, ,\, k=0,\cdots,n-1 مساوات میں\ x کی قدر ڈال کر بآسانی یہ تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ مساوات کے جزر ہیں۔ غور کرو کہ یہ جزر مبدا کے گرد ایک دائرے پر واقع ہیں، جس دائرہ کا نصف قطر ایک (1) ہے۔ تصویر میں \  n=10کیلئے دس جزر دکھائے گئے ہیں۔ Croots.png

اسی طرح مساوات \ x^n+1 کے جزر یوں ہیں:  x= \sqrt[n]{-1}  =\exp(\iota \pi (2k+1)/n) \, , \, k=0,\cdots,n-1

بیرونی روابط[ترمیم]

  • کمپوٹر سافٹوئیر سائیلیب میں مختلط (کمپلکس) اعداد کے استعمال کا ایک سبق ۔


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات