دالہ (ریاضیات)

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
مثال دالہ کا مخطط
\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}
اصطلاح term

دالہ
استدلال
تفویض
تابع
ناتابع
ساحہ
حیطہ

function
argument
assign
dependent
independent
domain
range

دالہ کی مشہور زمانہ دستخطی علامت

ریاضیات میں فنکشن یہ تصور ہے کہ ایک قدر (فنکشن کا استدلال، یا ادخال) سے دوسری قدر (فنکشن کا اخراج، یا قدر) مکمل طور پر معلوم ہو جاتی ہے۔ فنکشن ہر ادخال کو صرف ایک اخراج قدر تفویض کرتی ہے۔ استدلال اور فنکشن کی قدر حقیقی عدد ہو سکتے ہیں یا کسی مجموعہ کے ارکان۔ حقیقی عدد کی صورت میں اکثر اوقات فنکشن کا کلیہ لکھا جا سکتا ہے، اور اس کے مخطط کی کارتیسی متناسق میں خاکہ کشی کی جا سکتی ہے۔ تصویر میں فنکشن f کا کلیہ  y = f(x) = x^2

y=x2
Parabola a1.svg

ہے، جہاں x افقی محور پر ہے، اور y عمودی محور پر۔ اس فنکشن کے لیے استدلال x کوئی بھی حقیقی عدد ہو سکتا ہے۔ تصویر سے ظاہر ہے کہ اس فنکشن کا اخراج y غیر منفی حقیقی عدد ہوتا ہے۔

ریاضیاتی تعریف[ترمیم]

Function illustration.svg
a=f(1)
b=f(2)
b=f(3)

رسمی تعریف: ریاضیات میں فنکشن f ایک قاعدہ ہے جو مجموعہ X کے ہر رکن x کو مجموعہ Y کا صرف ایک رکن f(x) تفویض کرتا ہے۔

تصویر سے ظاہر ہے کہ X کے ایک سے زیادہ ارکان کو Y کا ایک ہی رکن تفویض کیا جا سکتا ہے (مگر X کے ایک رکن کو Y کے دو ارکان تفویض کرنے کی اجازت نہیں)۔ مجموعہ X کو فنکشن کا ساحہ کہا جاتا ہے۔ مجموعہ Y کے رکن f(x) کو فنکشن f کی x پر قدر بولتے ہیں۔ رکن x کو فنکشن f کا استدلال کہا جاتا ہے۔ ساحہ پر x کی تمام اقدار پر فنکشن f سے ملنے والی مجموعہ Y پر تمام اقدار f(x) کو فنکشن کا حیطہ کہتے ہیں۔ واضح رہے کہ عام طور پر فنکشن کا حیطہ، مجموعہ Y کا ذیلی مجموعہ ہو گا۔ علامتی طور پر لکھتے ہیں

f\colon X \to Y

یعنی f فنکشن X کو Y میں لے جاتا ہے، اور

 x \mapsto f(x)

x کو f(x) نقش کرتا ہے۔

جائزہ[ترمیم]

فنکشن کا علم میں کثرت استعمال کی وجہ سے کچھ رواج راہ پا گئے ہیں۔ فنکشن کے ادخال کی علامت کو اکثر"ناتابع متغیر" یا استدلال کہتے ہیں، اور حرف x کی علامت سے لکھتے ہیں، یا اگر وقت کا فنکشن ہو، تو حرف t کی علامت۔ اخراج کی علامت کو "تابع متغیر" یا "دالہ کی قدر" کہتے ہیں، اور اکثر حرف y کی علامت سے لکھتے ہیں۔ فنکشن خود کو عموماً f کہتے ہیں، اور اسطرح علامت y=f(x) سے مراد ہے کہ فنکشن f کی ادخال کا نام x ہے، اور اخراج y نامی ہے۔

Function machine box.png

فنکشن کو آلہ کے طور پر دیکھنا مفید رہتا ہے۔ آلہ میں x داخل ہو، تو آلہ اسے بطور ادخال منظور کرے گا، اور فنکشن f کے قاعدہ کے مطابق f(x) پیدا کرے گا، جو آلہ میں سے اخراج ہو گا۔ اس لیے ہم تخیل کر سکتے ہیں کہ ساحہ تمام ممکنہ ادخال ہیں، اور حیطہ تمام ممکنہ اخراج۔

عام زندگی میں بیشتر اوقات فنکشن کا ساحہ اور حیطہ اعداد کا ذیلی مجموعہ ہوتے ہیں، اور اکثر حقیقی اعداد۔ اس صورت میں فنکشن کا مخطط بنا کر تصور کرنا آسان رہتا ہے۔

دالہ‌ات کی ترکیب[ترمیم]

Function composition io.png
اصطلاح term

سِرک
افقی
دابی
کھینچی
منعکس
ترکیب
واحد الواحد
مقلوب
شناخت
استحالہ

shift
horizontal
compress
stretch
reflect
composite
one-to-one
inverse
identity
transformation


دو فنکشنات کی ترکیب سے نئی فنکشن وجود میں آ سکتی ہے جسے ترکیب فنکشن کہیں گے۔ دو فنکشن f اور g ہوں، ہم f کے ساحہ میں جُز x سے f کے حیطہ میں جُز y=f(x) تک پہنچتے ہیں۔ اب اگر جُز y فنکشن g کے ساحہ میں ہو تو ہم اس پر فنکشن g کے استعمال سے فنکشن g کے حیطہ میں جُز z=g(y) تک پہنچتے ہیں۔ نتیجہ نئی فنکشن h(x)=g(f(x)) ہے، جو فنکشن f کو فنکشن g میں ڈالنے سے بنی ہے۔ اسے f اور g کی ترکیب کہتے ہیں اور g\circ f لکھتے ہیں۔ فنکشن f کے ساحہ کو X ، فنکشن f کے حیط اور فنکشن g کے ساحہ کو Y ، اور فنکشن g کے حیطہ کو Z، کہتے ہوئے ہم علامتی طور پر یوں لکھ سکتے ہیں:

\begin{align}
f\colon X &\to Y \\
g\colon Y &\to Z \\
 g\circ f\colon X &\to Z \\
 x &\mapsto g(f(x)).
\end{align}

خیال رہے کہ ترکیبِ فنکشن g\circ f میں ترتیب اہم ہے، پہلے فنکشن f استعمال ہوئی اور اس کے اخراج پر فنکشن g استعمال کی گئی۔ آلاتی طور پر ترکیب کو تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ فنکشن g\circ f کا ساحہ وہ تمام x\in X ہیں جن کے لیے y=f(x) فنکشن g کے ساحہ میں ہیں۔ خیال رہے کہ عام طور پر g\circ f \ne f \circ g

مقلوب دالہ[ترمیم]

تعریف: کسی فنکشن کو واحد الواحد دالہ کہا جائے گا اگر یہ کوئی قدر دو بار اختیار نہ کرے، یعنی

\ f(x_1) \ne f(x_2) جب بھی x_1 \ne x_2

اگر فنکشن کا ساحہ اور حیطہ حقیقی عدد ہوں، تو واحد الواحد فنکشن افقی لکیر اختبار پر پورا اترے گی۔

اگر f واحد الواحد فنکشن ہے جس کا ساحہ X اور حیطہ Y ہے، تو اس کی مقلوب فنکشن f^{-1} کا ساحہ Y اور حیطہ X ہو گا، اور درج ذیل خاصے سے تعریف ہو گی

f^{-1}(y) = x \iff f(x)=y

کسی بھی y\in Y کے لیے۔ (یاد رہے کہ f^{-1} سے مراد \frac{1}{f} ہرگز نہیں۔ \frac{1}{f(x)} کے لیے \ [f(x)]^{-1} کی علامت استعمال ہوتی ہے۔)

شناخت دالہ[ترمیم]

ایسی فنکشن جو مجموعہ X کے رکن x کو x ہی تفویض کرے کو شناخت فنکشن کہتے ہیں، اور عموماً I_X لکھتے ہیں:

I_X(x)=x

واحد الواحد فنکشن f جس کا ساحہ X ہو، کے لیے

 (f \circ f^{-1})(x) =f(f^{-1}(x)) =(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = I_X(x) = x

دالہ کا استحالہ[ترمیم]

اگر فنکشن کا ساحہ اور حیطہ دونوں حقیقی اعداد ہوں، یعنی y=f(x), \, x\in \mathbb{R},\, y \in \mathbb{R}، تو پھر فنکشن کا مخطط بنایا جا سکتا ہے اور اس کی استحالہ خصوصیت پڑھی جا سکتی ہیں۔ ذیل میں c حقیقی عدد ہے:

Function horizontal shift.svg
Function compress stretch.svg

افقی سرکنا[ترمیم]

  • اگر c>0 ہو، تو فنکشن f(x-c)، فنکشن f(x) کی دائیں سرکی صورت ہے۔
  • اگر c>0 ہو، تو فنکشن f(x+c)، فنکشن f(x) کی بائیں سرکی صورت ہے۔

Function reflection vertical axis.svg

منعکس[ترمیم]

  • فنکشن f(x) کو عمودی دھرا کے حوالہ سے منعکس کرنے سے فنکشن f(-x) بنتا ہے۔

کھینچنا اور دابنا[ترمیم]

  • اگر c>1 ہو، تو فنکشن f(cx) ، فنکشن f(x) کی اُفقی دابی صورت ہے۔
  • اگر c>1 ہو، تو فنکشن f\left(\frac{x}{c}\right) ، فنکشن f(x) کی اُفقی کھینچی صورت ہے۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات