سالگرہ مسئلہ

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

سالگرہ مسلئہ
طبقہ
ممکنات
تقرب

birthday problem
order
possibilities
approximation

ایک جگہ اگر کچھ لوگ جمع ہوں تو اس کا کیا احتمال ہے کہ ان میں سے کسی دو اشخاص کی سالگرہ ایک ہی دن پڑتی ہو گی؟ اگر افراد کی تعداد صرف 23 ہو، تو اس بات کا تقریباً 50 فیصد امکان ہے کہ ان میں کم از کم دو افراد ایسے ہونگے جن کی سالگرہ ایک ہی دن ہو گی! اس مسلئہ کی اہمیت اس وجہ سے ہے کہ یہ مسلئہ کئی روپ میں روز مرہ زندگی میں پیش آتا ہے، اور عام آدمی کو بظاہر شاز و نادر (یا عجب اتفاق) معلوم ہونے والے واقعہ کا احتمال ریاضی قواعد کے مطابق خاصا زیادہ ہوتا ہے۔

بیان[ترمیم]

n p_n
15 0.253
23 0.507
30 0.706
50 0.970
75 0.9997

اس بات کا کیا احتمال ہے کہ n افراد میں سے دو افراد کی سالگرہ ایک ہی دن پڑتی ہو گی؟ آسانی کے لیے ہم پہلے اس واقعہ کے متمم واقعہ یعنی "n میں سے کسی دو افراد کی سالگرہ ایک دن نہیں پڑتی" کا احتمال معلوم کرتے ہیں۔ سال میں 365 دن ہوتے ہیں (leap سال کو چھوڑ کر)۔ ان n افراد کو 1 سے n تک عدد تفویض کر کے طبقہ بناؤ۔ اس طبقہ کے افراد کے سالگرہ دنوں کا طبقہ 365^n ممکنات پر مشتمل ہے۔ کسی دو شخص کی سالگرہ ایک ہی دن نہ پڑنے کی صورت میں ممکنات کی تعداد 365 \times 364 \times \cdots \times (365-n+1) ہے۔ اس لیے کسی دو افراد کے ایک ہی دن سالگرہ ہونے کا احتمال

p_n = 1 - \frac{365 \times 364 \times \cdots \times (365-n+1)}{365^n}

ہو گا۔ جدول میں دیکھو کہ افراد کی تعداد اگر 75 ہو تو یہ امر تقریباً یقینی ہے کہ ان میں دو افراد ایسے ضرور ہونگے جن کی سالگرہ ایک ہی دن ہو گی۔

تقرب[ترمیم]

مسلئہ کو یوں دیکھا جا سکتا ہے کہ n میں سے ہر دو افراد کے جوڑے کو پرکھا جائے کہ کیا ان کی سالگرہ ایک ہی ہے۔ ان جوڑوں کی تعداد \left(\begin{matrix}n \\ 2\end{matrix}\right) ہے۔ اور کسی جوڑے کی کامیابی (یعنی ایک ہی دن سالگرہ) کا احتمال \frac{1}{365} ہے۔ اگر کامیاب جوڑوں کی تعداد کو X کہا جائے، تو ظاہر ہے کہ تصادفی متغیر X دو رقمی توزیع شدہ ہو گا۔ اس توزیع کا پوئیسن توزیع سے تقرب کیا جا سکتا ہے، جہاں پوئیسن کا

\lambda = \left(\begin{matrix}n \\ 2\end{matrix}\right) \frac{1}{365}=\frac{1}{365} \frac{n(n-1)}{2}

ہو گا۔ اب (کم از کم) دو افراد کا ایک ہی دن سالگرہ ہونے کا احتمال  \Pr(X\ge 1) ہے، جو پوئیسن توزیع کے حوالے سے

 \Pr(X\ge 1) \approx 1 - exp(-\lambda)

ہے۔ اس طرح احتمال  p_n کا تقرب یوں ہو گا

 p_n \approx 1 - exp\left(-\frac{n(n-1)}{2 \cdot 365}\right)


اور دیکھو[ترمیم]


E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات