بےز مسئلہ اثباتی

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term

بیز مسلئہ اثباتی

Bayes' theorem

تصویر 1

اگر واقعات  A_1, A_2, \cdots, A_n کسی نمونہ فضا S کا بٹوارا ہوں، یعنی

 A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = S

اور اس کے علاوہ یہ باہمی ناشمول واقعات بھی ہوں، یعنی

 A_i \cap A_j \cap  = \Phi \,,\, i,j \in \{1,2,\cdots,n\}

اور \Pr(A_i)>0، تو کسی واقعہ B کے لیے (اگر \Pr(B)>0)، بٹوارے کے کسی "واقعہ \ A_i کا احتمال جبکہ واقعہ B" کو یوں لکھا جا سکتا ہے:


\Pr(A_i|B) = \frac{\Pr(A_i \cap B)}{\Pr(B)}
=     \frac{\Pr(B|A_i) \Pr(A_i)}{\sum_{k=1}^n \Pr(B | A_k)  \Pr(A_k)}

جہاں ہم نے کُل احتمال کے قانون کا استعمال کیا ہے۔

مثال[ترمیم]

فرض کرو کہ کسی بیماری کی تشخیص کے لیے ایک اختبار دستیاب ہے، مگر بیماری (disease) موجود ہونے کی صورت میں یہ اختبار 99 فیصد وقوع میں صحیح مثبت (positive) نتیجہ دیتا ہے، یعنی مشروط احتمال

\ \Pr(\hbox{positve}|\hbox{disease}) = 0.99 \,, \Pr(\hbox{negative}|\hbox{disease})=0.01

بیماری نہ ہونے کی صورت (no disease) میں یہ اختبار 98 فیصد وقوع میں صحیح منفی (negative) نتیجہ دیتا ہے، یعنی مشروط احتمال

\ \Pr(\hbox{positve}|\hbox{no disease}) = 0.02 \,, \Pr(\hbox{negative}|\hbox{no disease})=0.98

آبادی میں اس بیماری کا تناسب ہزار میں ایک ہے، یعنی بنفسیہ احتمال

\ \Pr(\hbox{no disease}) = 0.999 \,, \Pr(\hbox{disease})=0.001

اب ہم جاننا چاہتے ہیں کہ اگر کسی شخص کا اختبار کا نتیجہ مثبت نکلتا ہے، تو اس کا کیا احتمال ہے کہ اس شخص کو واقعی یہ بیماری ہے، یعنی ہم \ \Pr(\hbox{disease}|\hbox{positive}) جاننا چاہتے ہیں۔ اب بےز قاعدہ کا استعمال کرتے ہوئے

 \Pr(\hbox{disease}|\hbox{positive}) = \frac{\Pr(\hbox{positive}|\hbox{disease}) \Pr(\hbox{disease})}{
\Pr(\hbox{positive}|\hbox{disease}) \Pr(\hbox{disease}) + 
\Pr(\hbox{positive}|\hbox{no disease}) \Pr(\hbox{no disease})
}

اقدار ڈالتے ہوئے

 \Pr(\hbox{disease}|\hbox{positive}) = \frac{0.99 \times 0.001}{
0.99 \times 0.001 +  0.02 \times 0.999} = 0.047

یعنی اختبار کا نتیجہ مثبت ملنے پر واقعی بیماری ہونے کا احتمال صرف 4.7 فیصد ہے۔ اگر آپ کے لیے اس مثال کا نتیجہ حیران کن ہے تو غور کریں یہ بنفسیہ احتمال \  \Pr(\hbox{disease})=0.001 کا اثر ہے۔

اس مثال سے یہ بھر پور طریقہ سے واضح ہؤا کہ  \Pr(\hbox{disease}|\hbox{positive}) \neq \Pr(\hbox{positive}|\hbox{disease})

بےز قاعدہ کی مختلف شکل[ترمیم]

اصطلاح term

مفروضہ
 ?
امکاناتی تناسب
بنفسیہ
بمثلیہ

Hypothesis
odds
Likelihood ratio
a priori
posteriori

اوپر دیے بےز قاعدہ کو مختلف شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ اگر ایک واقعہ M ہے اور اس کا متمم  \bar{M} ، تو ان کے احتمال کا تناسب

 \frac{\Pr(M)}{\Pr(\bar{M})}

اس مفروضہ (واقعہ) M کے odds کو ظاہر کرتا ہے۔ واضح رہے کہ:

 \Pr(\bar{M}) = 1-\Pr(M)

اب اگر ایک واقعہ C رونماء ہوتا ہے، جس سے ہمیں مفروضہ M کے بارے میں کچھ نئی معلومات ملتی ہیں، تو اس نئی معلومات کی روشنی میں مفروضہ M کے نئے odds یہ ہوں گے

 \frac{\Pr(M|C)}{\Pr(\bar{M}|C)} = \frac{\Pr(M)}{\Pr(\bar{M})}
\frac{\Pr(C|M)}{\Pr(C|\bar{M})}

جہاں \frac{\Pr(C|M)}{\Pr(C|\bar{M})} کو امکاناتی تناسب کہا جاتا ہے۔ نظریہ احتمال و احصاء کی زبان میں مفروضہ کے اصلی odds کو بنفیسہ odds کہا جاتا ہے، اور نئے odds کو بمثلیہ odds کہتے ہیں۔ یعنی بےز قاعدہ کی مختلف شکل یوں ہے:

 (بمثلیہ odds )  = (بنفیسہ odds)  \times   (امکاناتی تناسب)

اوپر کی بےز مساوات کے numerator اور denominator میں بےز قاعدہ کے استعمال سے اس مساوات کی تصدیق ہوتی ہے، مثلاً numerator کے لیے

\Pr(M|C) = \frac{\Pr(M \cap C)}{\Pr(C)} = \frac{\Pr(C|M) \Pr(M)}{\Pr(C)}

مثال[ترمیم]

فرض کرو کہ ایک شخص پولیس مقابلے میں ہلاک ہو گیا ہے۔ مفروضہ یہ ہے کہ یہ شخص ڈاکو تھا۔

M=مفروضہ (ڈاکو تھا)
\bar{M}= نفی مفروضہ (ڈاکو نہیں تھا)

فرض کرو کہ پولیس مقابلے میں مرنے والوں کے ڈاکو ہونے اور نہ ہونے کا تناسب 5 ہے، یعنی

 \frac{\Pr(M)}{\Pr(\bar{M})}=5 \,,\, \Pr(M) = \frac{5}{6}

اب نیا ثبوت سامنے آتا ہے کہ مرنے والا مسلح نہیں تھا۔

C=مسلح نہیں تھا

فرض کرو کہ غیر مسلح شخص کے ڈاکو ہونے اور ڈاکو نہ ہونے کا تناسب 1/8 ہے، یعنی \frac{\Pr(C|M)}{\Pr(C|\bar{M})}=\frac{1}{8}

اس ثبوت کی روشنی میں مرنے والے کے ڈاکو ہونے کے بمثلیہ odds ہونگے

 \frac{\Pr(M|C)}{\Pr(\bar{M}|C)} = \frac{5}{1} \times \frac{1}{8} = \frac{5}{8}

جس سے مرنے والے کے ڈاکو ہونے کا احتمال بنتا ہے

 \frac{\Pr(M|C)}{1-\Pr(M|C)} =  \frac{5}{8} \,,\, \Pr(M|C)=\frac{5}{13}

یاد کرو کہ اس نئے ثبوت کے مہیا ہونے سے پہلے مرنے والے کے ڈاکو ہونے کا احتمال  \frac{5}{6} تھا (83 فیصد)، جو اب کم ہو کر  \frac{5}{13} رہ گیا ہے (38 فیصد)۔

اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات