آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
ایسی لکیری فضا جہاں اندرونی حاصل ضرب تعریف ہوا ہو، میں دو سمتیوں
u
{\displaystyle \ u}
اور
v
{\displaystyle \ v}
(فضا میں دو نکتوں) کے درمیان فاصلہ
d
(
u
,
v
)
{\displaystyle \ d(u,v)}
یوں تعریف کیا جاتا ہے:
d
(
u
,
v
)
=
‖
u
−
v
‖
{\displaystyle d(u,v)=\|u-v\|}
جہاں
‖
.
‖
{\displaystyle \|.\|}
لکیری فضا پر امثولہ کو ظاہر کرتا ہے۔
اقلیدسی فضا میں فاصلہ [ ترمیم ]
اقلیدسی فضا
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
میں سمتیہ
u
=
[
u
0
u
1
⋮
u
n
−
1
]
{\displaystyle \mathbf {u} =\left[{\begin{matrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{n-1}\end{matrix}}\right]}
اور سمتیہ
v
=
[
v
0
v
1
⋮
v
n
−
1
]
{\displaystyle \mathbf {v} =\left[{\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{matrix}}\right]}
کے درمیان فاصلے کی تعریف یوں ہو سکتی ہے (اقلیدسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب " کی مقبول تعریف استعمال کرتے ہوئے):
d
(
u
,
v
)
=
(
u
0
−
v
0
)
2
+
(
u
1
−
v
1
)
2
+
⋯
+
(
u
n
−
1
−
v
n
−
1
)
2
{\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\sqrt {{(u_{0}-v_{0})}^{2}+{(u_{1}-v_{1})}^{2}+\cdots +{(u_{n-1}-v_{n-1})}^{2}}}}
دیکھو کہ یہ اقلیدسی ہندسہ میں دو نکتوں کے درمیان فاصلے کی تعریف ہے۔ غور کرو کہ فضا پر "اندرونی حاصل ضرب " کی تعریف بدلنے سے "فاصلے" کی تعریف بھی مختلف ہو گی۔
فاصلہ کی خصوصیات [ ترمیم ]
اقلیدسی ہندسہ سے فاصلے کی جن خصوصیات سے پم واقف ہیں، فاصلہ کی تعریف ان پر پورا اترتی ہے۔ یہ خصوصیات یوں ہیں (یہاں
u
{\displaystyle \ u}
،
v
{\displaystyle \ v}
اور
w
{\displaystyle \ w}
کسی لکیری فضا میں سمتیہ ہیں) :
d
(
u
,
v
)
≥
0
{\displaystyle \ d(u,v)\geq 0}
d
(
u
,
v
)
=
0
{\displaystyle \ d(u,v)=0}
اگر بشرطِ اگر
u
=
v
{\displaystyle u=v}
d
(
u
,
v
)
=
d
(
v
,
u
)
{\displaystyle \ d(u,v)=d(v,u)}
d
(
u
,
v
)
≤
d
(
u
,
w
)
+
d
(
w
,
v
)
{\displaystyle \ d(u,v)\leq d(u,w)+d(w,v)}
تکون نامساوات
E=mc2
اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے ریاضی علامات