اندرونی حاصل ضرب فضا

آزاد دائرۃ المعارف، ویکیپیڈیا سے
:چھلانگ بطرف رہنمائی، تلاش
اصطلاح term
اندرونی حاصل ضرب
اندرونی حاصل ضرب فضاء

Inner product
Inner product space

ایسی لکیری فضا جس میں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف کیا ہؤا ہو، کو اندرونی حاصل ضرب فضا کہتے ہیں۔

تعریف: اندرونی حاصل ضرب

"اندرونی حاصل ضرب" ایک فنکشن ہے، جو سمتیہ فضا V کے سمتیہ u اور v کے جوڑے کے ساتھ ایک اصلی عدد \langle u, v \rangle کی نسبت اسطرح جوڑتی ہے، کہ نیچے دیے قواعد پورے ہوں۔ یہاں u, v, w سمتیہ ہیں، اور \alpha ایک سکیلر (تمام اعداد میدان \mathbb{R} پر ہیں)

  1. \langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle      متناظر
  2. \langle u+v, w \rangle = \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle      جمع
  3.  \langle \alpha u, v \rangle = \alpha \langle v, u \rangle      ہم جنسیت
  4.  \langle u, u \rangle \ge 0      مثبت ہونا
  5.  \langle u, u \rangle = 0 \iff u = 0      "اندرونی حاصل ضرب" صفر ہو گی، اگر بشرطِ اگر، جب سمتیہ خود صفر ہو۔

اقلیدیسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب"[ترمیم]

اصطلاح term
اقلیدسی فضاء

Euclidean space

اقلیدس سمتیہ فضا \mathbb{R}^n پر سمتیہ \mathbf{u} = \left[\begin{matrix}
u_0 \\
u_1 \\
\vdots \\
u_{n-1}
\end{matrix}\right] اور سمتیہ \mathbf{v} = \left[\begin{matrix}
v_0 \\
v_1 \\
\vdots \\
v_{n-1}
\end{matrix}\right] کے درمیان ایک

  • "اندرونی حاصل ضرب" یوں تعریف کیا جا سکتا ہے:
\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^t \mathbf{v}
= u_0 v_0 + u_1 v_1 + \cdots + u_{n-1} v_{n-1}

اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ تعریف قوائد 1 تا 5 پر پورا اترتی ہے۔ (یہاں t پلٹ (میٹرکس) کو ظاہر کرتا ہے۔)

  • اس اندرونی ضرب کی زیادہ عام صورت اس طرح تعریف کی جاتی ہے۔ اگر A ایک مقلوب میٹرکس ہو، تو "اندرونی حاصل ضرب" یوں تعریف کرتے ہیں:
\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = {(A \mathbf{u})}^t A\mathbf{v} 
= {\mathbf{u}}^t A^t A \mathbf{v}

اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ تعریف قوائد 1 تا 5 پر پورا اترتی ہے۔ (یہاں t پلٹ (میٹرکس) کو ظاہر کرتا ہے۔) یاد رہے کہ میٹرکس ضرب لکیری استحالہ بناتی ہے۔ اس مساوات کو ہم یوں لکھتے ہیں

\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle
= {\mathbf{u}}^t R \mathbf{v} \,,\,\,\,  R=A^t A

یہ زور دینے کے لیے کہ R ایک متناظر میٹرکس ہے۔

فضا میں سمتیہ کی لمبائی[ترمیم]

تفصیلی مضمون : امثولہ (ریاضی)

لکیری فضا \ V میں ایک سمتیہ \mathbf{v} کی لمبائی کو \ \| \mathbf{v}\| لکھتے ہیں، اور یہ سمتیہ کا اپنے ساتھ "اندرونی حاصل ضرب" کے جزر سے یوں تعریف کی جاتی ہے:

 \| \mathbf{v}\| = \sqrt{ \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}

سمتیہ کی لمبائی کو سمتیہ کا اُمثولہ بھی کہتے ہیں۔ انگریزی میں اسے سمتیہ کی norm کہتے ہیں۔

اقلیدسی فضا میں سمتیہ کی لمبائی[ترمیم]

Norm simtia.png

اقلیدسی فضا \mathbb{R}^n میں سمتیہ کی لمبائی کی تعریف یوں ہو جائے گی (اقلیدسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی پہلی تعریف استعمال کرتے ہوئے):

 \| \mathbf{u}\| = 
\sqrt{{u_0}^2+{u_1}^2+\cdots+{u_{n-1}}^2}

دیکھو کہ یہ اقلیدسی ہندسہ (Euclidean geometry) میں لمبائی کی تعریف ہے۔ غور کرو کہ فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف بدلنے سے "لمبائی" کی تعریف بھی مختلف ہو گی۔

فضا میں فاصلہ[ترمیم]

تفصیلی مضمون : فاصلہ (ریاضی)

لکیری فضا میں دو سمتیوں \mathbf{u} اور \mathbf{v} (فضا میں دو نکتوں) کے درمیان فاصلہ d(\mathbf{u},\mathbf{v}) یوں تعریف کیا جاتا ہے:

d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \| \mathbf{u-v} \|

اقلیدسی فضا میں فاصلہ[ترمیم]

اقلیدسی فضا \mathbb{R}^n میں فاصلے کی تعریف یوں ہو سکتی ہے (اقلیدسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی پہلی تعریف استعمال کرتے ہوئے):

d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 
\sqrt{{(u_0-v_0)}^2+{(u_1-v_1)}^2+\cdots+{(u_{n-1}-v_{n-1})}^2}

دیکھو کہ یہ اقلیدسی ہندسہ میں دو نکتوں کے درمیان فاصلے کی تعریف ہے۔ غور کرو کہ فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف بدلنے سے "فاصلے" کی تعریف بھی مختلف ہو گی۔

"اندرونی حاصل ضرب" کی مزید خصوصیات[ترمیم]

"اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف سے کچھ مزید خصوصیات اخذ کی جا سکتی ہیں (\mathbf{u} ، \mathbf{v} ، اور \mathbf{r}، سمتیہ ہیں، جبکہ \ k ایک سکیلر):

  1. \langle \mathbf{0}, \mathbf{u} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{0} \rangle = \mathbf{0}
  2. \langle \mathbf{u}, \mathbf{v+r} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{u}, \mathbf{r} \rangle
  3. \langle \mathbf{u}, \mathbf{\alpha v} \rangle = \alpha \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle
  4. \langle \mathbf{u-v}, \mathbf{r} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{r} \rangle - \langle \mathbf{v}, \mathbf{r} \rangle
  5. \langle \mathbf{u}, \mathbf{v-r} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle - \langle \mathbf{u}, \mathbf{r} \rangle

قائم الزاویہ[ترمیم]

اصطلاح term
قائم الزاویہ

Orthogonal

دو سمتیہ \mathbf{u} اور \mathbf{v} کو قائم الزاویہ کہا جائے گا اگر ان کا "اندرونی حاصل ضرب" صفر ہو، یعنی

\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{0}

اگر سمتیہ \mathbf{u} کا مجموعہ \ S میں تمام سمتیوں سے "اندرونی حاصل ضرب" صفر ہو، تو سمتیہ \mathbf{u} کو مجموعہ \ S سے قائم الزاویہ کہا جاتا ہے۔

"فیثاغورث" مسئلہ اثباتی[ترمیم]

تصویر میں فضا \mathbb{R}^2 کی مثال
Norm phythagorean.png


اگر سمتیہ \ u اور \ v قائم الزاویہ ہوں، یعنی

\langle u, v \rangle = 0

تو:

{\|u\|}^2 + {\|v\|}^2 = {\|u+v\|}^2

قائم امثول[ترمیم]

اصطلاح term
قائم امثول

Orthonormal

ایک "اندرونی حاصل ضرب فضا" پر سمتیہ مجموعہ \{v_i\}، جس میں ہر سمتیہ دوسرے سے قائیم الزاویہ ہو، اور ہر سمتیہ کا امثولہ ایک (1) ہو، ایسے سمتیہ مجموعہ کو قائم امثول بولتے ہیں۔ یعنی

 \langle v_i, v_j \rangle = 0 \,\,, i \ne j

اور

 \langle v_i, v_i \rangle = 1

جسے یوں بھی لکھا جا سکتا ہے


\| v_i\| = 1

"قائم امثول" بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت[ترمیم]

کسی"اندرونی حاصل ضرب فضا" پر \ S = \{v_0, v_1, \cdots, v_{n-1}\} اگر ایک "قائم امثول" بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو، تو اس فضا کے کسی سمتیہ \ u کو اس مجموعہ کے حوالے سے یوں لکھا جا سکتا ہے:

\ u = \langle u, v_0 \rangle v_0 + 
\langle u, v_1 \rangle v_1 + \cdots
\langle u, v_{n-1} \rangle v_{n-1}

یعنی سمتیہ u کی صورت اس بنیاد سمتیہ مجموعہ S کے حوالے سے n اعداد سے ظاہر کی جاتی ہے، جسے (یعنی n اعداد کو) ہم میٹرکس کے بطور یوں لکھ سکتے ہیں:

\ u = \left[ \begin{matrix}
\langle u, v_0 \rangle \\
\langle u, v_1 \rangle \\
\vdots \\
\langle u, v_{n-1} \rangle 
\end{matrix} \right]

\mathbb{R}^n فضا میں "قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ مجموعہ" کے حوالے سے فضا کے کسی سمتیہ کی صورت نکالنے کا طریقہ ہم دیکھ چکے ہیں۔ اس مسئلہ اثباتی کی خوبی یہ ہے کہ یہ کسی بھی سمتیہ فضا (جہاں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف ہؤا ہو) کے لیے طریقہ بتاتا ہے۔ یہ بھی خیال رہے کہ اگر بنیاد سمتیہ مجموعہ قائم الزاویہ نہ ہو تو صورت نکالنے کے طریقہ میں یکلخت لکیری مساوات کا حل نکالنے کی دشواری کا سامنا کرنا پڑتا ہے۔

مسلئہ اثباتی[ترمیم]

کسی"اندرونی حاصل ضرب فضا"، جس کا بُعد n ہو۔ اس فضا پر \ S = \{v_0, v_1, \cdots, v_{n-1}\} ایک "قائم امثول" بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو۔ اس فضا کے کسی سمتیہ \ \mathbf{u} اور \ \mathbf{w} کو اس مجموعہ کے حوالے سے یوں لکھا گیا ہو:

 
\mathbf{u} = \left[\begin{matrix}
u_0 \\
u_1 \\
\vdots \\
u_{n-1}
\end{matrix}\right]\,,\,\,
\mathbf{w} = \left[\begin{matrix}
w_0 \\
w_1 \\
\vdots \\
w_{n-1}
\end{matrix}\right]\,,

تو سمتیہ کے امثولہ، فاصلہ، اور "اندرونی حاصل ضرب" کو یوں دیا جاتا ہے:

\| \mathbf{u}\| = \sqrt{\mathbf{u}^t \mathbf{u}}
= \sqrt{u_0^2+u_1^2+\cdots+u_{n-1}^2}
 d(\mathbf{u},\mathbf{w}) = \sqrt{{(\mathbf{u-w})}^t (\mathbf{u-w})}
= \sqrt{{(u_0-w_0)}^2+{(u_1-w_1)}^2+\cdots+{(u_{n-1}-w_{n-1})}^2}
\langle \mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle = \mathbf{u}^t \mathbf{w}
= u_0 w_0 + u_1 w_1 + \cdots + u_{n-1}w_{n-1}

اس مسئلہ اثباتی کی خوبی یہ ہے کہ یہ \mathbb{R}^n فضا جیسے خوبصورت نتائج کسی بھی سمتیہ فضا (جہاں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف ہؤا ہو) کے لیے عام کرتا ہے۔

مسلئہ اثباتی[ترمیم]

کسی"اندرونی حاصل ضرب فضا" پر مجموعہ \ S = \{v_0, v_1, \cdots, v_{n-1}\} میں تمام n غیر صفر سمتیہ "قائم امثول" ہوں (تمام سمتیہ ایک دوسرے کے ساتھ قائم الزاویہ ہوں، اور ہر سمتیہ کا امثولہ ایک (1) ہو)، تو

یہ سمتیہ مجموعہ لکیری آزاد ہو گا۔

قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ (مسلئہ اثباتی)[ترمیم]

لکیری فضا، جس میں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف ہؤا ہو، اور اس کا بُعد محدود ہو۔ ایسی لکیری فضا میں "قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ" ہمیشہ موجود ہوتا ہے۔

ایک "بنیاد سمتیہ مجموعہ" سے "قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ" گرام شمٹ طریقہ سے نکالا جا سکتا ہے۔ اس طریقہ میں مسقط (نیچے دیکھو) کی مدد سے مجموعہ سے قائم امثول مجموعہ کشید کیا جاتا ہے۔

مسقط[ترمیم]

اصطلاح term
مسقط
تقرب

Projection
Approximation

تفصیلی مضمون: مسقط (ریاضی)

مسقط مسئلہ اثباتی[ترمیم]

اگر U کسی "اندرونی حاصل ضرب فضا" V کی لکیری ذیلی فضا ہو، تو V کے کسی بھی سمتیہ v کو صرف ایک منفرد صورت میں یوں لکھا جا سکتا ہے:

\ v = u + b

جبکہ سمتیہ u "ذیلی فضا" U میں ہو، اور سمتیہ b "ذیلی فضا" U کے قائم الزاویہ ہو۔ اب سمتیہ u کو سمتیہ v کا مسقط (projection) کہا جاتا ہے۔

Projection1 ips.png

تصویر میں \mathbb{R}^3 فضا میں سمتیہ v دکھایا گیا ہے۔ (اس فضا کو جیومیٹری میں معکب XYZ کہا جا سکتا ہے۔) اس سمتیہ کا مسقط سمتیہ u ہے، جو کہ فضا \mathbb{R}^2 (جیومیٹری میں XY پلین) میں ہے۔ غور کرو کہ سمتیہ u اور سمتیہ b ایک دوسرے سے نوے درجہ کے زاویہ (قائم الزاویہ) پر ہیں۔ دراصل سمتیہ b اور پلین XY آپس میں قائم الزاویہ ہیں (یعنی سمتیہ b ، پلین XY میں کسی بھی سمتیہ سے نوے درجہ کا زاویہ بناتا ہے) ۔ سمتیہ b کو اکثر غلطی سمتیہ کہا جاتا ہے۔

مسلئہ اثباتی (بہترین تقرب)[ترمیم]

اگر U کسی "اندرونی حاصل ضرب فضا" V کی لکیری ذیلی فضا ہو، تو V کے کسی بھی سمتیہ v کا ذیلی فضا U میں مسقط \hbox{proj}_Uv ، سمتیہ v کا بہترین تقرب ہے، اس معنی میں کہ

 \|v - \hbox{proj}_Uv \| < \|v-u\|

جہاں u ذیلی فضا U کا کوئ بھی دوسرا سمتیہ ہے۔

یعنی مسقط کے غلطی سمتیہ

 e=\|v - \hbox{proj}_Uv \|

کا امثولہ سب سے کم ہو گا- یہ ہم پہلے ہی دیکھ چکے ہیں کہ یہ غلطی سمتیہ e قائم الزاویہ ہوتا ہے ذیلی فضا U کے (یعنی U میں تمام سمتیوں کے)۔

"اندرونی حاصل ضرب" کی مدد سے ہم مسقط نکال سکتے ہیں۔

مسلئہ اثباتی[ترمیم]

ایک "اندرونی حاصل ضرب فضا" V کی لکیری ذیلی فضا U ہو۔ اگر فضا U کے لیے \{v_0, v_1, \cdots, v_{n-1} \} ایک قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو، تو فضا V کے کسی بھی سمتیہ z کا مسقط \hbox{proj}_U z ذیلی فضا U میں یوں نکالا جا سکتا ہے:

\hbox{proj}_U z = \langle z, v_0 \rangle v_0
+ \langle z, v_1 \rangle v_1
+ \cdots
+\langle z, v_{n-1} \rangle v_{n-1}
مثال: فضا \mathbb{R}^3 میں سمتیہ z = \left[\begin{matrix}
2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\right]

کا پلین XY میں مسقط نکالتے ہیں۔ پلین XY کے لیے v_0 = \left[\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]\,,\,\,
v_1 = \left[\begin{matrix}
0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right]
ایک قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ ہے۔ اب

\langle z, v_0 \rangle = z^t v_0 = 2
\langle z, v_1 \rangle = z^t v_1 = 2
\hbox{proj}_{\{XY plane\}} z = 2 v_0 + 2 v_1 =
\left[\begin{matrix}
2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right]

اور دیکھو[ترمیم]

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات